Supongamos que la ecuación $x^3 + px^2 + qx + r = 0$, con $r\neq 0$, admite tres raíces reales y positivas. Determinar la relación que debe ligar los números reales $p$, $q$ y $r$ a fin de que las tres raíces puedan ser las longitudes de los lados de un triángulo.
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Pista. Si $\alpha,\beta,\gamma\gt 0$ son las raíces de la ecuación, demuestra que la condición de que sean los lados de un triángulo se expresa como
\[(\alpha+\beta-\gamma)(\beta+\gamma-\alpha)(\gamma+\alpha-\beta)\gt 0\]
Solución. Sean $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}$ las raíces de la ecuación. Para que sean las longitudes de los lados de un triángulo, la suma de dos de ellas debe ser mayor que la tercera, lo que nos da la relación
\[(\alpha+\beta-\gamma)(\beta+\gamma-\alpha)(\gamma+\alpha-\beta)\gt 0.\qquad (\star)\]
Observamos además que si se cumple esto no pueden ser dos sumandos negativos y otro positivo ya que, si $\alpha+\beta\lt \gamma$ y $\beta+\gamma\lt\alpha$, entonces sumamos ambas desigualdades y llegamos a que $2\beta\lt 0$, pero estamos suponiendo que las tres raíces son positivas.
Ahora bien, si desarrollamos la igualdad
\[x^3+px^2+qx+r=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma),\]
obtenemos rápidamente las ecuaciones de Cardano-Vièta identificando coeficientes:
\[\alpha+\beta+\gamma=-p,\qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=q,\qquad \alpha\beta\gamma=-r.\]
Por lo tanto, la desigualdad $(\star)$ se puede reescribir como
\begin{align*}
0&\lt (-p-2\alpha)(-p-2\beta)(-p-2\gamma)\\
&=-p^3-2(\alpha+\beta+\gamma)p^2-4(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)p-8\alpha\beta\gamma\\
&=-p^3+2p^3-4qp+8r=p^3-4qp+8r.
\end{align*}
Deducimos así que la relación que nos piden es $4pq\lt p^3+8r$.
Demostrar que
\[\frac{1}{10\sqrt{2}}\lt\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots 99}{2\cdot 4\cdot 6\cdots 100}\lt\frac{1}{10}.\]
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Pista. Eleva al cuadrado y estima los factores del numerador por los del denominador para obtener productos telescópicos.
Solución. Denotemos por $A$ a la fracción central. Elevando al cuadrado obtenemos que
\[A^2=\frac{1^2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdots 99^2}{2^2\cdot 4^2\cdot 6^2\cdots 100^2}.\]
Observemos que
\[(2n-1)^2=4n^2-4n+1\gt 4n^2-4n=2n(2n-2),\]
luego cada cuadrado de un número impar en el numerador puede acotarse inferiormente por el producto de los pares anterior y posterior, es decir,
\[A^2=\frac{1^2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdots 99^2}{2^2\cdot 4^2\cdot 6^2\cdots 100^2}\gt\frac{1^2\cdot (2\cdot 4)\cdot (4\cdot 6)\cdots (98\cdot 100)}{2^2\cdot 4^2\cdot 6^2\cdots 100^2}=\frac{1}{200},\]
de donde se obtiene la desigualdad de la izquierda del enunciado.
Si ahora hacemos lo mismo con los cuadrados del denominador, teniendo en cuenta que
\[(2n)^2=4n^2\gt 4n^2-1=(2n-1)(2n+1),\]
obtenemos la siguiente cota superior:
\[A^2=\frac{1^2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdots 99^2}{2^2\cdot 4^2\cdot 6^2\cdots 100^2}\lt\frac{1^2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdots 99^2}{(1\cdot 3)\cdot (3\cdot 5)^2\cdots (97\cdot 99)\cdot 100^2}=\frac{99}{100^2}\lt\frac{1}{100},\]
que equivale a la desigualdad de la derecha en el enunciado.
Nota. Las desigualdades
\[(2n-1)^2\gt 2n(2n-2),\qquad (2n)^2\gt(2n-1)(2n+1),\]
también pueden verse como desigualdades entre las medias aritmética y geométrica de dos pares o impares consecutivos.
Demostrar que para todo número natural $n\gt 1$ se cumple que
\[1\cdot\sqrt{\binom{n}{1}}+2\cdot\sqrt{\binom{n}{2}}+\ldots+n\cdot\sqrt{\binom{n}{n}}\lt\sqrt{2^{n-1}n^3}.\]
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Pista. Utiliza la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
Solución. Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz a los vectores
\begin{align*}
u&=\left(\binom{n}{1}^{1/2},\binom{n}{2}^{1/2},\ldots,\binom{n}{n}^{1/2}\right),\\
v&=(1,2,\ldots,n),
\end{align*}
tenemos que
\begin{align*}
1\cdot\sqrt{\binom{n}{1}}+2\cdot\sqrt{\binom{n}{2}}+\ldots+n\cdot\sqrt{\binom{n}{n}}&\leq\sqrt{\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\ldots+\binom{n}{n}}\sqrt{1^2+2^2+\ldots+n^2}\\
&=\sqrt{2^n-1}\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\\
&\lt\sqrt{2^n}\sqrt{\frac{2n^3}{6}}\lt \sqrt{2^n}\sqrt{\frac{n^3}{2}}=\sqrt{2^{n-1}n^3},
\end{align*}
donde hemos usado la fórmula para la suma de los $n$ primeros cuadrados y también que los elementos de la fila $n$-ésima del triángulo de Tartaglia suman $2^n$.
Nota. La desigualdad de Cauchy-Schwarz sobre dos vectores $u,v\in\mathbb{R}^n$ nos dice que
\[|u_1v_1+u_2v_2+\ldots+u_nv_n|\leq (u_1^2+u_2^2+\ldots+u_n^2)^{1/2}(v_1^2+v_2^2+\ldots+v_n^2)^{1/2}\]
y la igualdad se alcanza si y sólo si los vectores son proporcionales.
Problema 1653problema obsoleto Denotamos por $m(a,b)$ a la media aritmética de los números reales positivos $a$ y $b$. Dada un función $g:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ que tiene la primera y la segunda derivada positivas, definimos la media $\mu(a,b)$ relativa a la función $g$ mediante
\[2g(\mu(a, b))= g(a)+g(b).\]
Decir, razonadamente, cuál de las dos medias $m$ y $\mu$ es mayor.
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Pista. Utiliza la desigualdad de Jensen aplicada a la función convexa $g$ (es decir, que la gráfica de $g$ se queda por debajo de cualquier recta secante entre dos puntos). Para dar una demostración rigurosa, usa el desarrollo de Taylor de orden $2$ para la función $g$.
Solución. La función $g(t)$ es convexa por tener segunda derivada positiva, luego la desigualdad de Jensen nos dice que
\[g(\mu(a,b))=\frac{g(a)+g(b)}{2}\geq g\left(\tfrac{a+b}{2}\right)=g(m(a,b)).\]
Como $g$ es estrictamente creciente por tener primera derivada positiva, su inversa $g^{-1}$ existe y es estrictamente creciente. Aplicando dicha inversa a ambos lados de la desigualdad anterior, obtenemos que $\mu(a,b)\geq m(a,b)$ para cualesquiera $a$ y $b$.
Nota. En realidad, no es necesario que $a$ y $b$ sean positivos para que se cumpla la desigualdad $\mu(a,b)\geq m(a,b)$. Observemos además que la igualdad $\mu(a,b)= m(a,b)$ se alcanza únicamente cuando $a=b$ ya que $g$ es estrictamente convexa.
Demostrar que si $u$ y $v$ son números reales no negativos cualesquiera y $a$ y $b$ son números reales positivos tales que $a+b=1$, entonces
\[u^av^b\leq au+bv.\]
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Pista. Esta es directamente la desigualdad entre ls medias aritmética y geométrica con pesos. Para dar otra demostración, puedes usar la desigualdad de Jensen con pesos para la función logaritmo.
Solución. La función logaritmo $f(x)=\log(x)$ es cóncava, luego cumple que $af(u)+b(v)\leq f(au+bv)$ para cualesquiera $u,v,a,b\gt 0$ tales que $a+b=1$ (esta es la desigualdad de Jensen y viene del hecho de que el segmento que une los puntos $(u,f(u))$ y $(v,f(v))$ se queda por debajo de la gráfica $y=f(x)$). Podemos escribir entonces
\[a\log(u)+b\log(v)\leq\log(au+bv),\]
y tomando exponenciales en ambos miembros (la función exponencial es estrictamente creciente), llegamos a la desigualdad del enunciado.
Nota. Como $\log(x)$ es estrictamente convexa, la igualdad se alcanza si y sólo si $u=v$ o bien $a=0$ o $b=0$.
