Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Sean $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}$ las raíces de la ecuación. Para que sean las longitudes de los lados de un triángulo, la suma de dos de ellas debe ser mayor que la tercera, lo que nos da la relación \[(\alpha+\beta-\gamma)(\beta+\gamma-\alpha)(\gamma+\alpha-\beta)\gt 0.\qquad (\star)\] Observamos además que si se cumple esto no pueden ser dos sumandos negativos y otro positivo ya que, si $\alpha+\beta\lt \gamma$ y $\beta+\gamma\lt\alpha$, entonces sumamos ambas desigualdades y llegamos a que $2\beta\lt 0$, pero estamos suponiendo que las tres raíces son positivas.

Ahora bien, si desarrollamos la igualdad \[x^3+px^2+qx+r=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma),\] obtenemos rápidamente las ecuaciones de Cardano-Vièta identificando coeficientes: \[\alpha+\beta+\gamma=-p,\qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=q,\qquad \alpha\beta\gamma=-r.\] Por lo tanto, la desigualdad $(\star)$ se puede reescribir como \begin{align*} 0&\lt (-p-2\alpha)(-p-2\beta)(-p-2\gamma)\\ &=-p^3-2(\alpha+\beta+\gamma)p^2-4(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)p-8\alpha\beta\gamma\\ &=-p^3+2p^3-4qp+8r=p^3-4qp+8r. \end{align*} Deducimos así que la relación que nos piden es $4pq\lt p^3+8r$.

Solución. La función $g(t)$ es convexa por tener segunda derivada positiva, luego la desigualdad de Jensen nos dice que \[g(\mu(a,b))=\frac{g(a)+g(b)}{2}\geq g\left(\tfrac{a+b}{2}\right)=g(m(a,b)).\] Como $g$ es estrictamente creciente por tener primera derivada positiva, su inversa $g^{-1}$ existe y es estrictamente creciente. Aplicando dicha inversa a ambos lados de la desigualdad anterior, obtenemos que $\mu(a,b)\geq m(a,b)$ para cualesquiera $a$ y $b$.

Nota. En realidad, no es necesario que $a$ y $b$ sean positivos para que se cumpla la desigualdad $\mu(a,b)\geq m(a,b)$. Observemos además que la igualdad $\mu(a,b)= m(a,b)$ se alcanza únicamente cuando $a=b$ ya que $g$ es estrictamente convexa.