Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dados $n$ vectores unitarios en el plano cuya suma tenga longitud menor que $1$. Demostrar que se pueden ordenar los vectores de manera que la suma de los $k$ primeros vectores tenga módulo menor que $2$ para todo $1\leq k\leq n$.

Sean $a,b,c$ números reales que satisfacen 1 \[\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=1\quad\text{y}\quad ab+bc+ca\gt 0.\] Demostrar que \[a+b+c-\frac{abc}{ab+bc+ca}\geq 4.\]

Sean $a,b,c,d$ números reales no nulos y distintos entre sí y tales que \[\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}=4\quad\text{y}\quad ac=bd.\] Hallar el mayor valor posible de \[\frac{a}{c}+\frac{b}{d}+\frac{c}{a}+\frac{d}{b}.\]

Sea $n\geq 3$ un número entero y sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números reales positivos tales que $m$ es el menor y $M$ es el mayor de ellos. Se sabe que para cualesquiera tres enteros distintos $1\leq i,j,k\leq n$, si $a_i\leq a_j\leq a_k$, entonces $a_ia_k\leq a_j^2$. Demostrar que \[a_1a_2\cdots a_n\geq m^2M^{n-2}\] y determinar cuándo se cumple la igualdad.

Sean $a$, $b$ y $c$ números reales positivos tales que $a+b+c=1$. Demostrar que \[a\sqrt{a^2+6bc}+b\sqrt{b^2+6ac}+c\sqrt{c^2+6ab}\leq\frac{3\sqrt{2}}{4}.\]