Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Demostrar que todas las matrices cuadradas de la forma \[\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}\] (siendo $a,b\in\mathbb{R}$) forman un cuerpo conmutativo $\mathbb{K}$ cuando se consideran las operaciones usuales de suma y producto de matrices. Probar también que, si $A\in\mathbb{K}$ es un elemento no nulo de dicho cuerpo, existen dos matrices de $\mathbb{K}$ tales que el cuadrado de cada una sea igual a $A$.

Dado el determinante de orden $n$ \[\left|\begin{matrix} 8&3&3&\ldots&3\\ 3&8&3&\ldots&3\\ 3&3&8&\ldots&3\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 3&3&3&\ldots&8 \end{matrix}\right|,\] calcular su valor y determinar para qué valores de $n$ dicho valor es múltiplo de $10$.

Se considera la función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por \[f(x)=|x^2-4x+3|.\] Estudiar su continuidad y derivabilidad en el punto de abscisa $x=1$. Su gráfica determina con el eje $X$ una figura cerrada. Determinar el área de dicha figura.

Dada una matriz cuadrada $M$ de orden $n$ sobre el cuerpo de los números reales, encontrar una matriz simétrica y una antisimétrica tales que su suma sea precisamente $M$.

Demostrar que la ecuación \[z^4+4(i+1)z+1=0\] tiene una raíz en cada cuadrante del plano complejo.