Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Para la primera parte, basta observar que \[(\sqrt{y}+\sqrt{xy})^2=y+2\sqrt{y}\sqrt{xy}+xy=y+xy+2y\sqrt{x}\] y tomar raíces cuadradas en ambos miembros usando que $\sqrt{y}+\sqrt{xy}\gt 0$.

Para la segunda parte, podemos hacer un razonamiento similar para $x=\frac{5}{3}-\frac{1}{3}\sqrt{5}$ e $y=3$, lo que nos da la igualdad \[\left(\sqrt{3}+\sqrt{5-\sqrt{22}}\right)^2=8-\sqrt{22}+2\sqrt{15-3\sqrt{22}}\] y podemos transformar \begin{align*} M&=\sqrt{3}+\sqrt{5+\sqrt{22}}+\sqrt{5-\sqrt{22}}\\ &=\sqrt{3}+\sqrt{(5+\sqrt{22})+(5-\sqrt{22})+2\sqrt{5+\sqrt{22}}\sqrt{5-\sqrt{22}}}\\ &=\sqrt{3}+\sqrt{10+2\sqrt{25-22}}=\sqrt{3}+\sqrt{10+2\sqrt{3}}. \end{align*}

Solución. Si expresamos $14$ como producto de dos elementos de $\mathcal D$, tenemos \[14=(a+b\sqrt{-13})(c+d\sqrt{-13})=(ac-13bd)+(ac+bd)\sqrt{-13}.\] Separando en partes real e imaginaria, tenemos claramente que la factorización equivale a encontrar enteros $a,b,c,d\in\mathbb{Z}$ verificando el sistema \[(\star)\qquad \left\{\begin{array}{l}ac-13bd=14,\\ac+bd=0\end{array}\right.\] Tomando el módulo en la factorización, tenemos además que \[14^2=(a^2+13b^2)(c^2+13d^2),\] luego $a^2+13b^2$ y $c^2+13d^2$ tienen que ser divisores enteros positivos complementarios de $14^2=2^2\cdot 7^2$. Supongamos sin perder generalidad que $a^2+13b^2$ es el menor de los dos factores, luego tiene que ser igual a $1,2,4,7$ o $14$. Distingamos casos:

• Si $a^2+13b^2=1$, entonces necesariamente $a=\pm 1$ y $b=0$. Sustituyendo en el sistema $(\star)$ llegamos a que $c=\pm 14$ y $d=0$.
• Si $a^2+13b^2=2$, no hay solución.
• Si $a^2+13b^2=4$, entonces $a=\pm 2$ y $b=0$. Sustituyendo en el sistema $(\star)$ llegamos a que $c=\pm 7$ y $d=0$.
• Si $a^2+13b^2=7$, tampoco hay solución en este caso.
• Si $a^2+13b^2=14$, entonces $a=\pm 1$ y $b=\pm 1$.
  • Si $a=b=1$, el sistema $(\star)$ nos da $c=1$ y $d=-1$.
  • Si $a=1$ y $b=-1$, el sistema $(\star)$ nos da $c=d=1$.
  • Si $a=-1$ y $b=1$, el sistema $(\star)$ nos da $c=d=-1$.
  • Si $a=b=-1$, el sistema $(\star)$ nos da $c=-1$ y $d=1$.

En definitiva, tenemos las siguientes seis factorizaciones salvo ordenación de factores: \[1\cdot 14,\quad (-1)(-14),\quad 2\cdot 7,\quad (-2)(-7),\] \[(1+\sqrt{-13})(1-\sqrt{-13}),\quad (-1+\sqrt{-13})(-1-\sqrt{-13}).\]

Solución. Consideremos el polinomio $z^{30}-1$, cuyas raíces son las raíces $30$-ésimas de la unidad, es decir, $z_k=\cos\frac{2k\pi}{30}+i\operatorname{sen}\frac{2k\pi}{30}$ para $0\leq k\leq 29$ entero. Separando las raíces reales $z_0=1$ y $z_{15}=-1$ y agrupando las restantes en pares de raíces conjugadas, obtenemos que \begin{align*} z^{30}-1&=(z-1)(z+1)\prod_{k=1}^{14}(z-\cos\tfrac{k\pi}{15}-i\operatorname{sen}\tfrac{k\pi}{15})(z-\cos\tfrac{k\pi}{30}+i\operatorname{sen}\tfrac{k\pi}{15})\\ &=(z^2-1)\prod_{k=1}^{14}(z^2-2z\cos\tfrac{k\pi}{15}+1). \end{align*} Evaluando la igualdad anterior en $z=i$, obtenemos que \[-1-1=(-1-1)\prod_{k=1}^{14}(-1-2i\cos\tfrac{k\pi}{15}+1)\ \Rightarrow\ 1=-2^{14}\prod_{k=1}^{14}\cos\tfrac{k\pi}{15}.\] Deducimos así que el producto del enunciado es igual a $-2^{-14}$.