Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Como $221=13\cdot 17$ y cada fila y columna tiene más de un elemento, no queda más remedio que la tabla sea $13\times 17$ o bien $17\times 13$. Supongamos el primer caso y luego analizaremos el segundo, que es completamente análogo. Si vemos la tabla como una matriz, el elemento que ocupa la posición $(i,j)$ estará dado por \[a_{ij}=a+(i-1)d+(j-1)d_i,\qquad\text{para }1\leq i\leq 13\text{ y }1\leq j\leq 17\] y ciertos números reales $a,d,d_1,\ldots,d_{17}$. Esta forma de escribir los elementos responde al hecho de que la primera columna es una progresión aritmética ($a$ es su término inicial y $d$ su diferencia) y la fila $i$-ésima es una progresión aritmética ($d_i$ es su diferencia). Imponiendo que la última columna es también una progresión aritmética, tenemos que la diferencia entre dos términos consecutivos $a_{i+1,13}-a_{i,13}=d+12(d_{i+1}-d_i)$ ha de ser constante, lo que nos lleva a que los $d_i$ también formen una progresión aritmética, pongamos $d_i=d_1+(i-1)h$ para cierto número real $h$. Tenemos así que los elementos de la tabla quedan \[a_{ij}=a+(i-1)d+(j-1)d_1+(i-1)(j-1)h,\qquad\text{para }1\leq i\leq 13\text{ y }1\leq j\leq 17.\qquad(\star)\] Sumando todos estos elementos obtenemos \begin{align*} 110721=\sum_{i=1}^{13}\sum_{j=1}^{17}a_{ij}&=221a+17d\sum_{i=1}^{13}(i-1)+13d_1\sum_{j=1}^{17}(j-1)+h\left(\sum_{i=1}^{13}(i-1)\right)\left(\sum_{j=1}^{17}(j-1)\right)\\ &=221a+17\cdot\frac{12\cdot 13}{2}d+13\cdot\frac{16\cdot 17}{2}d_1+\frac{12\cdot 13}{2}\cdot\frac{16\cdot 17}{2} h. \end{align*} Hemos dejado así indicado el producto para que se vea claramente que todo el miembro de la derecha tiene factor común $13\cdot 17$ y, además, podemos dividir $110721$ por $13$ y $17$ de forma exacta, por lo que se puede simplificar lo anterior para obtener que $501=a+6d+8d_1+48h$. La suma de los elementos de las cuatro esquinas es \[a+(a+16d_1)+(a+12d)+(a+16d_1+12d+12\cdot 16h)=4(a+6d+8d_1+48h)=2004.\]

El caso de tener $17$ filas y $13$ columnas es completamente similar ya que la fórmula $(\star)$ se demuestra de la misma manera (ahora para $1\leq i\leq 17$ y $1\leq j\leq 13$), lo que equivale a cambiar filas por columnas (es decir, cambiar $d$ por $d_1$) en el cálculo anterior (¿sabrías justificarlo?).

Solución. La desigualdad entre las medias aritmética y geométrica nos dice que \begin{align*} \frac{3^{x^2-x-y}+3^{y^2-y-z}+3^{z^2-z-x}}{3}&\geq\sqrt[3]{3^{x^2-x-y}\cdot 3^{y^2-y-z}\cdot 3^{z^2-z-x}}\\ &=3^{\frac{x^2-2x+y^2-2y+z^2-2z}{3}}=3^{\frac{(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2-3}{3}}\\ &=\tfrac{1}{3}\cdot 3^{\frac{(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2}{3}}\geq \frac{1}{3}. \end{align*} Por lo tanto, $3^{x^2-x-y}+3^{y^2-y-z}+3^{z^2-z-x}\geq 1$ para todo $x,y,z\in\mathbb{R}$ y, si la igualdad se alcanza, tiene que ser $(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=0$, es decir, $x=y=z=1$. Como $x=y=z=1$ verifica la ecuación del enunciado, deducimos que esta es la única solución.

Nota. Las exponenciales pueden ocultar la aplicación de la desigualdad entre las medias aritmética-geométrica, pero una solución similar se tiene aplicando la desigualdade de Jensen a la función convexa $f(t)=3^t$. ¿Sabrías escribir los detalles?