Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Como $221=13\cdot 17$ y cada fila y columna tiene más de un elemento, no queda más remedio que la tabla sea $13\times 17$ o bien $17\times 13$. Supongamos el primer caso y luego analizaremos el segundo, que es completamente análogo. Si vemos la tabla como una matriz, el elemento que ocupa la posición $(i,j)$ estará dado por \[a_{ij}=a+(i-1)d+(j-1)d_i,\qquad\text{para }1\leq i\leq 13\text{ y }1\leq j\leq 17\] y ciertos números reales $a,d,d_1,\ldots,d_{17}$. Esta forma de escribir los elementos responde al hecho de que la primera columna es una progresión aritmética ($a$ es su término inicial y $d$ su diferencia) y la fila $i$-ésima es una progresión aritmética ($d_i$ es su diferencia). Imponiendo que la última columna es también una progresión aritmética, tenemos que la diferencia entre dos términos consecutivos $a_{i+1,13}-a_{i,13}=d+12(d_{i+1}-d_i)$ ha de ser constante, lo que nos lleva a que los $d_i$ también formen una progresión aritmética, pongamos $d_i=d_1+(i-1)h$ para cierto número real $h$. Tenemos así que los elementos de la tabla quedan \[a_{ij}=a+(i-1)d+(j-1)d_1+(i-1)(j-1)h,\qquad\text{para }1\leq i\leq 13\text{ y }1\leq j\leq 17.\qquad(\star)\] Sumando todos estos elementos obtenemos \begin{align*} 110721=\sum_{i=1}^{13}\sum_{j=1}^{17}a_{ij}&=221a+17d\sum_{i=1}^{13}(i-1)+13d_1\sum_{j=1}^{17}(j-1)+h\left(\sum_{i=1}^{13}(i-1)\right)\left(\sum_{j=1}^{17}(j-1)\right)\\ &=221a+17\cdot\frac{12\cdot 13}{2}d+13\cdot\frac{16\cdot 17}{2}d_1+\frac{12\cdot 13}{2}\cdot\frac{16\cdot 17}{2} h. \end{align*} Hemos dejado así indicado el producto para que se vea claramente que todo el miembro de la derecha tiene factor común $13\cdot 17$ y, además, podemos dividir $110721$ por $13$ y $17$ de forma exacta, por lo que se puede simplificar lo anterior para obtener que $501=a+6d+8d_1+48h$. La suma de los elementos de las cuatro esquinas es \[a+(a+16d_1)+(a+12d)+(a+16d_1+12d+12\cdot 16h)=4(a+6d+8d_1+48h)=2004.\]

El caso de tener $17$ filas y $13$ columnas es completamente similar ya que la fórmula $(\star)$ se demuestra de la misma manera (ahora para $1\leq i\leq 17$ y $1\leq j\leq 13$), lo que equivale a cambiar filas por columnas (es decir, cambiar $d$ por $d_1$) en el cálculo anterior (¿sabrías justificarlo?).

Solución. Todo número natural $n$ se puede expresar de forma única como suma de potencias distintas de $2$, es decir, existen enteros $0\leq a_1\lt a_2\lt\ldots\lt a_r$ únicos tales que \[n=2^{a_1}+2^{a_2}+\ldots+2^{a_r}\] (esto no es más que la representación de $n$ en base $2$). Es inmediato ver, por inducción sobre $r$, que $f(n)=r$. En efecto, si $r=1$, tenemos que $n=2^{a_1}$ y $f(n)=f(2^{a_1})=1$ por la primera propiedad del enunciado (notemos que $2^{a_1}=1$ si $a_1=0$). Supuesto cierto para $r-1$ sumandos, para $r$ sumandos tenemos que \[f(2^{a_1}+2^{a_2}+\ldots+2^{a_r})=f(2^{a_1}+2^{a_2}+\ldots+2^{a_{r-1}})+1=(r-1)+1=r,\] puesto que \[2^{a_1}+2^{a_2}+\ldots+2^{a_{r-1}}\leq 1+2+2^2+\ldots+2^{a_r-1}=2^{a_r}-1\lt 2^{a_r}\] y puede aplicarse la segunda propiedad del enunciado.

En definitiva, hemos probado que $f(n)$ es la suma de los dígitos de $n$ en base $2$. Dado $k\in\mathbb{N}$, está claro entonces que el menor número con $f(n)=k$ es $n=2^k-1$ (que tiene $k$ dígitos en base $2$, todos ellos iguales a $1$). Como $2^{10}\lt 2001\lt 2^{11}-1$, deducimos que el máximo de $f(n)$ cuando $n\leq 2001$ es $10$. También deducimos que el menor natural $n$ tal que $f(n)=2001$ es $2^{2001}-1$.

Solución. Consideremos $f(f(f(n)))$, que puede calcularse de dos formas distintas usando la ecuación funcional del enunciado: \begin{align*} f[f(f(n))]&=f(n+1),& f(f[f(n)])&=f(n)+1. \end{align*} Por lo tanto, se tiene que $f(n+1)=f(n)+1$ para todo $n\in\mathbb{N}$. Esto nos lleva a que tiene que existir $a\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ tal que $f(n)=n+a$ para todo $n\in\mathbb{N}$ (de hecho, tiene que ser $a=f(1)-1$). Si sustituimos esta función en la ecuación original, se tiene que $f(f(n))=f(n)+a=n+2a$, que tiene que ser igual a $n+1$ para todo $n\in\mathbb{N}$. Por lo tanto, tiene que ser $2a=2f(1)-2=1$, luego $f(1)=\frac{3}{2}$, contradiciendo que $f$ toma únicamente valores enteros.

Solución. Al ser las tangentes enteros positivos, deducimos que los tres ángulos del triángulo son agudos de al menos $45^\circ$. Ahora bien, no puede ser todas las tangentes mayores o iguales que $2$ ya que entonces la suma de los ángulos del triángulo sería mayor o igual que $3\arctan(2)\gt 3\arctan(\sqrt{3})=180^\circ$, donde hemos usado que el arcotangente es una función creciente. Deducimos que uno de los tres ángulos tiene que tener tangente igual a $1$ y, por tanto, ser igual a $45^\circ$. Si llamamos $\alpha$ y $\beta$ a los otros dos ángulos, tendremos que $\alpha+\beta=135^\circ$, luego \[-1=\tan(135^\circ)=\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)},\] igualdad que se puede reescribir como \[\tan(\alpha)\tan(\beta)-\tan(\alpha)-\tan(\beta)=1\] o bien \[(\tan(\alpha)-1)(\tan(\beta)-1)=2.\] La única posibilidad siendo las tangentes enteros positivos es que uno de los factores sea igual a $1$ y el otro igual a $2$, luego podemos suponer que $\tan(\alpha)=2$ y $\tan(\beta)=3$. Tenemos así que las tangentes de los tres ángulos son los números $1$, $2$ y $3$.

Nota. Observemos que el propio cálculo anterior nos dice que $\tan(\alpha+\beta)=-1$, luego $\alpha=\arctan(2)$ y $\beta=\arctan(3)$ suman $135^\circ$. Esto nos lleva directamente a la famosa identidad \[\arctan(1)+\arctan(2)+\arctan(3)=180^\circ.\]

Solución. La desigualdad entre las medias aritmética y geométrica nos dice que \begin{align*} \frac{3^{x^2-x-y}+3^{y^2-y-z}+3^{z^2-z-x}}{3}&\geq\sqrt[3]{3^{x^2-x-y}\cdot 3^{y^2-y-z}\cdot 3^{z^2-z-x}}\\ &=3^{\frac{x^2-2x+y^2-2y+z^2-2z}{3}}=3^{\frac{(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2-3}{3}}\\ &=\tfrac{1}{3}\cdot 3^{\frac{(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2}{3}}\geq \frac{1}{3}. \end{align*} Por lo tanto, $3^{x^2-x-y}+3^{y^2-y-z}+3^{z^2-z-x}\geq 1$ para todo $x,y,z\in\mathbb{R}$ y, si la igualdad se alcanza, tiene que ser $(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=0$, es decir, $x=y=z=1$. Como $x=y=z=1$ verifica la ecuación del enunciado, deducimos que esta es la única solución.

Nota. Las exponenciales pueden ocultar la aplicación de la desigualdad entre las medias aritmética-geométrica, pero una solución similar se tiene aplicando la desigualdade de Jensen a la función convexa $f(t)=3^t$. ¿Sabrías escribir los detalles?