Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se tiene un punto $O$ sobre una recta $g$ y se consideran vectores unitarios $\overrightarrow{OP_1},\overrightarrow{OP_2},\ldots,\overrightarrow{OP_n}$ tales que los puntos $P_1,\ldots,P_n$ están en un plano que contiene a $g$ y en el mismo semiplano respecto de $g$. Demostrar que si $n$ es impar, entonces \[\Bigl|\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}+\ldots,\overrightarrow{OP_n}\Bigr|\geq 1.\]

Sean $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ funciones definidas en todos los reales y con valores reales que cumplen la ecuación \[f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y)\] para cualesquiera $x,y\in\mathbb{R}$. Demostrar que, si $f(x)$ no es idénticamente nula y cumple $|f(x)|\leq 1$ para todo $x\in\mathbb{R}$, entonces $|g(y)|\leq 1$ para todo $y\in\mathbb{R}$.

Sea $A=(a_{ij})$ una matriz cuadrada ($1\leq i,j\leq n$) cuyos elementos son enteros no negativos. Supongamos que siempre que un elemento es cero, la suma de los elementos de su fila y su columna es mayor o igual que $n$. Demostrar que la suma de todos los elementos de la matriz es mayor o igual que $n^2/2$.

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que \[f(yf(x+y)+f(x))=4x+2yf(x+y)\] para cualesquiera $x,y\in\mathbb{R}$.

Dados un número natural $n\gt 0$ y un número complejo $z=x+iy$ de módulo unidad (es decir, $x^2 + y^2 = 1$), se puede cumplir o no la igualdad \[\left(z+\frac{1}{z}\right)^n=2^{n-1}\left(z^n+\frac{1}{z^n}\right).\] Fijado $n$, llamaremos $S(n)$ al subconjunto de complejos de módulo unidad para los que se cumple la igualdad dada.

1. Calcular razonadamente $S(n)$, para $2\leq n\leq 5$.
2. Acotar superiormente el número de elementos de $S(n)$ en función de $n$ para $n\gt 5$.