Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Asumiendo que lo que ocurre en cada examen es independiente de lo que pase en los anteriores, hay $(n-1)^n$ posibles situaciones en que ninguna pregunta de ninguno de los $n$ exámenes es la que se sabe y el número de situaciones totales es $n^n$. La probabilidad de que apruebe es $1$ menos la probabilidad de que suspenda, que de este modo puede calcularse como \[p_n=1-\frac{(n-1)^n}{n^n}=\left(1-\frac{1}{n}\right)^n.\] Veamos que se trata de una sucesión estrictamente decreciente, para lo que aplicamos la desigualdad la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica a $n+1$ números: $n$ de ellos iguales a $1-\frac{1}{n}$ y el otro igual a $1$. Esto nos da la siguiente desigualdad estricta (ya que no todos los números a los que se aplica la desigualdad MA-MG son iguales): \[\sqrt[n+1]{1\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)^n}\leq\frac{1+n(1-\frac{1}{n})}{n+1}.\] Tras manipulaciones algebraicas sencillas obtenemos que $p_n\gt p_{n+1}$.

En cuanto al apartado (c), se comprueba fácilmente que el límite es $1-e^{-1}$ resolviéndolo como una indeterminación de tipo $1^\infty$. También respondemos fácilmente al apartado (d) ya que la mayor de las cotas inferiores es el propio límite $1-e^{-1}$ ya que se trata de una sucesión estrictamente decreciente y con límite finito.

Nota. La idea de usar la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica es estándar en este tipo de desigualdades y está inspirada en la demostración de que la sucesión $(1+\frac{1}{n})^n$ cuyo límite define al número $e$ es estrictamente creciente.