Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Denotemos por $A$ a la fracción central. Elevando al cuadrado obtenemos que \[A^2=\frac{1^2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdots 99^2}{2^2\cdot 4^2\cdot 6^2\cdots 100^2}.\] Observemos que \[(2n-1)^2=4n^2-4n+1\gt 4n^2-4n=2n(2n-2),\] luego cada cuadrado de un número impar en el numerador puede acotarse inferiormente por el producto de los pares anterior y posterior, es decir, \[A^2=\frac{1^2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdots 99^2}{2^2\cdot 4^2\cdot 6^2\cdots 100^2}\gt\frac{1^2\cdot (2\cdot 4)\cdot (4\cdot 6)\cdots (98\cdot 100)}{2^2\cdot 4^2\cdot 6^2\cdots 100^2}=\frac{1}{200},\] de donde se obtiene la desigualdad de la izquierda del enunciado.

Si ahora hacemos lo mismo con los cuadrados del denominador, teniendo en cuenta que \[(2n)^2=4n^2\gt 4n^2-1=(2n-1)(2n+1),\] obtenemos la siguiente cota superior: \[A^2=\frac{1^2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdots 99^2}{2^2\cdot 4^2\cdot 6^2\cdots 100^2}\lt\frac{1^2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdots 99^2}{(1\cdot 3)\cdot (3\cdot 5)^2\cdots (97\cdot 99)\cdot 100^2}=\frac{99}{100^2}\lt\frac{1}{100},\] que equivale a la desigualdad de la derecha en el enunciado.

Nota. Las desigualdades \[(2n-1)^2\gt 2n(2n-2),\qquad (2n)^2\gt(2n-1)(2n+1),\] también pueden verse como desigualdades entre las medias aritmética y geométrica de dos pares o impares consecutivos.