Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Si expresamos $14$ como producto de dos elementos de $\mathcal D$, tenemos \[14=(a+b\sqrt{-13})(c+d\sqrt{-13})=(ac-13bd)+(ac+bd)\sqrt{-13}.\] Separando en partes real e imaginaria, tenemos claramente que la factorización equivale a encontrar enteros $a,b,c,d\in\mathbb{Z}$ verificando el sistema \[(\star)\qquad \left\{\begin{array}{l}ac-13bd=14,\\ac+bd=0\end{array}\right.\] Tomando el módulo en la factorización, tenemos además que \[14^2=(a^2+13b^2)(c^2+13d^2),\] luego $a^2+13b^2$ y $c^2+13d^2$ tienen que ser divisores enteros positivos complementarios de $14^2=2^2\cdot 7^2$. Supongamos sin perder generalidad que $a^2+13b^2$ es el menor de los dos factores, luego tiene que ser igual a $1,2,4,7$ o $14$. Distingamos casos:

• Si $a^2+13b^2=1$, entonces necesariamente $a=\pm 1$ y $b=0$. Sustituyendo en el sistema $(\star)$ llegamos a que $c=\pm 14$ y $d=0$.
• Si $a^2+13b^2=2$, no hay solución.
• Si $a^2+13b^2=4$, entonces $a=\pm 2$ y $b=0$. Sustituyendo en el sistema $(\star)$ llegamos a que $c=\pm 7$ y $d=0$.
• Si $a^2+13b^2=7$, tampoco hay solución en este caso.
• Si $a^2+13b^2=14$, entonces $a=\pm 1$ y $b=\pm 1$.
  • Si $a=b=1$, el sistema $(\star)$ nos da $c=1$ y $d=-1$.
  • Si $a=1$ y $b=-1$, el sistema $(\star)$ nos da $c=d=1$.
  • Si $a=-1$ y $b=1$, el sistema $(\star)$ nos da $c=d=-1$.
  • Si $a=b=-1$, el sistema $(\star)$ nos da $c=-1$ y $d=1$.

En definitiva, tenemos las siguientes seis factorizaciones salvo ordenación de factores: \[1\cdot 14,\quad (-1)(-14),\quad 2\cdot 7,\quad (-2)(-7),\] \[(1+\sqrt{-13})(1-\sqrt{-13}),\quad (-1+\sqrt{-13})(-1-\sqrt{-13}).\]