Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Todas las caras del tetraedro $ABCD$ son triángulos acutángulos. Consideremos todas las poligonales cerradas de la forma $XYZTX$ en las que $X,Y,Z,T$ son puntos interiores de las aristas $AB,BC,CD,DA$, respectivamente.

1. Si $\angle DAB+\angle BCD\neq \angle CDA+\angle ABC$, demostrar que entre todas las poligonales no hay ninguna de longitud mínima.
2. Si $\angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC$, entonces hay una cantidad infinita de poligonales distintas de longitud mínima, siendo $2AC\,\mathrm{sen}(\alpha/2)$ dicha longitud mínima y $\alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB$.