Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Pensemos en qué tiene que ocurrir para que el polinomio $P(x)$ sea simétrico respecto del origen. Tiene que ocurrir que sea una función impar, es decir, $P(-x)=-P(x)$. Si desarrollamos $P(-x)$ y lo igualamos con $-P(x)$ llegamos a que todos los coeficientes de términos de exponente par han de anularse luego $P(x)$ sólo tiene términos de exponente impar y $P(0)=0$, luego podemos expresar $P(x)=xQ(x^2)$ para cierto polinomio $Q(x)$. Esto nos dice que si la gráfica de $P$ es simétrica respecto del origen, entonces $P(x)=xQ(x^2)$ para cierto polinomio $Q(x)$, pero el recíproco también es cierto ya que los polinomios de la forma $P(x)=xQ(x^2)$ son funciones impares y, por tanto, sus gráficas son simétricas respecto del origen.

Hemos probado ya el enunciado para $(a,b)=(0,0)$. Para un $(a,b)$ cualquiera, la gráfica de $P$ es simétrica respecto de $(a,b)$ si, y sólo si, la gráfica de $R(x)=P(x+a)-b$ es simétrica respecto del origen (hemos hecho una traslación del punto $(a,b)$ al origen). Por lo que hemos probado antes, esto ocurre si, y sólo si, $R(x)=xQ(x)$ para cierto polinomio $Q(x)$. Deshaciendo el cambio, la gráfica de $P$ es simétrica respecto de $(a,b)$ si, y sólo si, $P(x)=R(x-a)+b=(x-a)Q\bigl((x-a)^2\bigr)+b$ para cierto polinomio $Q(x)$.

Nota. Este es un ejercicio muy mecánico. Las ideas fundamentales que se desprenden de la solución y que hay que aprender son: (1) que la gráfica de una función es simétrica respecto del origen si, y sólo si, es una función impar; y (2) que la gráfica de $f(x+a)-b$ es la misma que la gráfica de $f(x)$ después de aplicarle una traslación que lleva $(a,b)$ al $(0,0)$.