Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Pongamos que los números $A,B,\ldots,I$ están colocados como en la siguiente tabla: \[\begin{bmatrix} A&B&C\\ D&E&F\\ G&H&I \end{bmatrix}\] Cada uno de los seis números de tres cifras es congruente módulo $9$ con la suma de sus dígitos y la suma total $S$ tendrá, por lo tanto, la siguiente congruencia: \begin{align*} S&\equiv (A+B+C)+(D+E+F)+(G+H+I)\\ &\qquad +(A+D+G)+(B+E+H)+(C+F+I)\\ & \equiv 2(A+B+C+D+E+F+G+H+I)=90\equiv 0\ (\text{mod }9). \end{align*} ya que la suma $A+B+C+D+E+F+G+H+I=45$ no depende de cómo se coloquen los números. Ahora bien, esto nos dice que no puede ser $S=2001$ ya que $2001\equiv 3\not\equiv 0\ (\text{mod }9)$.