Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Pongamos que $a_1\leq a_2\leq a_3\leq a_4\leq a_5$ sin perder generalidad. Que con tres cualesquiera de los segmentos se pueda formar un triángulo equivale a que se tenga la desigualdad $a_5\lt a_1+a_2$ ya que entonces está claro que cualesquiera tres de los segmentos verifican la desigualdad triangular (si $a_i\leq a_j\leq a_k$, entonces $a_k\leq a_5\leq a_1+a_2\leq a_i+a_j$ y el segmento mayor es menor o igual que la suma de los otros dos).

Por otro lado, un triángulo de lados $a\leq b\leq c$ es acutángulo si y sólo si $c^2\lt a^2+b^2$ (como consecuencia del teorema del coseno, ver la nota). Supongamos por reducción al absurdo que todos los triángulos son rectángulos u obtusángulos. Entonces, se tiene que \[a_5^2\geq a_3^2+a_4^2\geq (a_1^2+a_2^2)+(a_2^2+a_3^2)\geq (a_1^2+a_2^2)+(a_1a_2+a_1a_2)=(a_1+a_2)^2,\] contradiciendo que se puede formar un triángulo de lados $a_1,a_2,a_5$.

Nota. Si un triángulo tiene lados $a\leq b\leq c$, entonces el ángulo mayor es $C$, el opuesto al lado $c$, en cuyo caso el teorema del coseno nos dice que \[c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.\] Se tiene que $\cos C\gt 0$ cuando $0\lt C\lt 90^\circ$ y $\cos C\lt 0$ cuando $90^\circ\lt C\lt 180^\circ$, luego el triángulo es acutángulo si $c^2\lt a^2+b^2$, rectángulo si $c^2=a^2+b^2$ u obtusángulo si $c^2\gt a^2+b^2$.