Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Sea $ABC$ el triángulo y $A'B'C'$ el triángulo rotado $90^\circ$, como se indica en la figura (estamos interesados en hallar el área de color naranja). Los seis triángulos pintados de azul son congruentes entre sí ya que las líneas discontinuas son ejes de simetría (¿por qué?). Consideramos los puntos de intersección $D$ y $E$ de $B'C'$ con $AC$ y $BD$, respectivamente. Tenemos entonces que $\angle DCE=\angle BCA=60^\circ$ y $\angle DEC=90^\circ$ porque $B'C'$ es una rotación de $90^\circ$ de $BC$. Por lo tanto, el triángulo $CDE$ es rectángulo y cumple que \[CE=CD\,\mathrm{sen}(30^\circ)=\tfrac{1}{2}CD,\qquad\qquad CE=CD\,\mathrm{cos}(30^\circ)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}CD.\] Ahora usamos que $CD+DE+EC=C'D+DE+EB'=B'C'=4\sqrt{3}$ (ver la nota). Esto nos dice que \[\tfrac{1}{2}CD+CD+\tfrac{\sqrt{3}}{2}CD=4\sqrt{3}\ \Longleftrightarrow\ CD=\frac{8\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}.\] Por tanto, el área de cada triángulo azul será \[\text{Área}(CDE)=\frac{1}{2}DE\cdot EC=\frac{\sqrt{3}}{8}\left(\frac{8\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\right)^2=8\sqrt{3}-12.\] Finalmente, el área que buscamos se calcula como el área de $ABC$, que es igual a $12\sqrt{3}$ (ver la nota), menos tres veces el área de $CDE$, luego el resultado es, en centímetros cuadrados: \[12\sqrt{3}-3\cdot (8\sqrt{3}-12)=36-12\sqrt{3}.\]

Nota. Hemos usado que si $\ell$ es el lado de un triángulo regular, entonces el radio de su circunferencia circunscrita es $R=\frac{\ell}{\sqrt{3}}$ y su área es $S=\frac{\sqrt{3}}{4}\ell^2$. ¿Sabrías probarlo?

Solución. Llamemos $a$ a la cifra de las cententas, $b$ a la de las unidades y $c$ a la de las unidades. Entonces, $b$ puede ser cualquier entero entre $2$ y $9$, $a$ tiene que estar entre $1$ y $b-1$ y $c$ entre $0$ y $b-1$. Por tanto, para cada valor de $b$ tenemos $(b-1)b=b^2-b$ posibles elecciones para el par $(a,c)$, por lo que la solución a la primera pregunta se obtiene sumando $b^2-b$ para $b$ desde $2$ a $9$, es decir, \begin{align*} 2^2+3^2+\ldots+9^2-(2+3+\ldots+9)&=1^2+2^2+\ldots+9^2-(1+2+\ldots+9)\\ &=\frac{9\cdot 10\cdot 19}{6}-\frac{9\cdot 10}{2}=240. \end{align*} Para responder al apartado (b), de lo anterior habrá que descontar los que tienen $a=c$, que ahora puede ser cualquier dígito entre $1$ y $b-1$, luego tendremos que la solución es \[240-(1+2+\ldots+8)=240-\frac{8\cdot 9}{2}=204.\]

Solución.

1. Si multiplicamos por $\cos(45)=\sin(45)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ la ecuación, obtenemos \[\mathrm{sen}(x+45)=\mathrm{sen}(45)\cos(x)+\cos(45)\mathrm{sen}(x)=\mathrm{sen}(45)(\cos(x)+\mathrm{sen}(x)).\] Por lo tanto, la desigualdad que queremos probar se traduce en que \[\mathrm{sen}(x+45^\circ)\gt\cos(45).\] En el intervalo $[0,360]$, los ángulos cuyo seno es mayor que el seno de $45$ son los del intervalo $(45,135)$, luego la inecuación anterior tiene como soluciones los puntos de los intervalos $(0,90)$, salvo múltiplos de $360$.
2. Para $x\in(0,180)$, el seno es positivo, luego tenemos las mismas soluciones del apartado anterior $(0,90)$. Ahora bien, la función $f(x)=\cos(x)+|\mathrm{sen}(x)|$ cumple que $f(-x)=f(x)$ (es par), luego también tenemos las soluciones $(-90,0)$. Si observamos finalmente que $x=0$ no es solución ya que $f(0)=1$ y que $f(x)$ tiene período $360$, tenemos que la respuesta es los intervalos $(-90,0)$ y $(0,90)$, salvo múltiplos enteros de $360$.

Solución. Tenemos que \[\frac{3x-b}{3x-5b}=\frac{3a-4b}{3a-8b}\ \Longleftrightarrow\ (3x-b)(3a-8b)=(3a-4b)(3x-5b)\ \Longleftrightarrow\ b(x-a+b)=0.\] Por lo tanto, con la hipótesis de que ambas razones son iguales, necesariamente $b=0$ (en cuyo caso sí se tiene claramente que ambas son igual a $1$ y no hay paradoja) o bien $x-a+b=0$ (en cuyo caso la última igualdad no es $1$ ya que el denominador es cero y no puede hacerse el razonamiento).

En otras palabras, si $\frac{p}{q}=\frac{r}{s}$ entonces estas razones coinciden con $\frac{p-r}{q-s}$ con la condición adicional de que $q-s$ no sea cero.

Solución. Sea $ABC$ el triángulo equilátero, $M$ el punto medio del lado $AB$ y $O$ el centro de la esfera. El lado $AB$ es tangente a la esfera en $M$, luego perpendicular a $OM$, de forma que $AOM$ es un triángulo rectángulo y el teorema de Pitágoras nos asegura que \[AO^2=OM^2+MA^2=R^2+\frac{\ell^2}{4},\] luego la distancia que nos piden es $AO=\sqrt{R^2+\frac{\ell^2}{4}}$.