Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
III Olimpiada Matemática Española (fase nacional) — 1966
Sesión 1
Problema 1431
A un fabricante de tres productos cuyos precios por unidad son de $50$, $70$ y $65$ pesetas, le pide un detallista $100$ unidades, remitiéndole en pago de las mismas $6850$ pesetas, con la condición de que mande el mayor número posible del producto de precio superior y las restantes de los otros dos. ¿Cuántas unidades deberá enviar de cada producto para servir el pedido?
pistasolución 1info
Pista. Si tomáramos $100$ productos de $70$ pesetas, costaría $7000$ el pedido total. Por lo tanto, hay que bajar de $7000$ a $6850$ pesetas usando el menor número posible de productos de $50$ y $65$ pesetas.
Solución. Pongamos que fabrica $x$ unidades del producto más caro, $y$ unidades del intermedio y $z$ unidades del más económico, luego deben cumplirse las siguientes restricciones:
\[\left\{\begin{array}{l}70x+65y+50z=6850,\\x+y+z=100\end{array}\right.\]
Multiplicando la segunda ecuación por $70$ y restándole al resultado la primera, llegamos tras simplificar a la siguiente condición
\[y+4z=30.\]
Queremos la solución de esta ecuación en números enteros que minimice $y+z$ (lo que equivale a maximizar $x$). Claramente, debemos tomar $z$ lo mayor posible y completar con $y$. El mayor valor de $z$ que hace que $y+4z$ no pase de $30$ es $z=7$, lo que nos deja con $y=2$ y $x=100-x-y=91$.
Por lo tanto, debemos tomar $91$ unidades del producto que vale 70 pesetas, $2$ unidades del que vale $65$ pesetas y $7$ unidades del que vale $50$ pesetas.
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Problema 1432
Un número de tres cifras se escribe $xyz$ en el sistema de base 7 y $zyx$ en el sistema de base 9 (es decir, sus dígitos aparecen en orden inverso). ¿Cuál es el número?
pistasolución 1info
Pista. El número es $7^2x+7y+z$ y también $9^2z+9y+x$, donde $x,y,z$ son dígitos entre $0$ y $6$.
Solución. La ecuación que nos da se escribe como
\[49x+7y+z=81z+9y+x\ \Leftrightarrow\ 40z+y-24x=0.\]
Por tanto, $y=8(3x-5z)$ es múltiplo de $8$, lo que nos lleva a que $y=0$ (ya que en base $7$ no puede haber un dígito $8$. Tenemos así que $3x=5z$, luego $x$ tiene que ser múltiplo de $5$ pero no puede ser $x=0$ (ya que el número tiene tres cifras) ni $x\geq 7$ y nos queda que $x=5$, de donde $z=3$. Tenemos así que el número es $503_{(7)}=305_{(9)}=248_{(10)}$.
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Problema 1433
Dado un pentágono regular, se considera el pentágono convexo delimitado por sus diagonales. Se pide calcular:
- La relación de semejanza entre los dos pentágonos convexos.
- La relación de sus áreas.
- La razón de la homotecia que transforma el primero en el segundo.
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Problema 1434
Se quiere colgar un peso $P$ de modo que quede $7$m por debajo de un techo. Para ello se suspende mediante un cable vertical sujeto al punto medio $M$ de una cadena colgada por sus extremos de dos puntos del techo $A$ y $B$ distantes entre sí $4$m. El precio del cable $PM$ es de $p$ pesetas por metro y el de la cadena $AMB$ es de $q$ pesetas por metro. Se pide:
- Determinar las longitudes del cable y de la cadena para obtener el precio más económico de la instalación.
- Discutir la solución para los distintos valores de la relación $p/q$ de ambos precios.
Nota: Se supone que el peso es lo suficientemente grande para poder considerar como rectilíneos los segmentos de cadena AM y MB.
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Sesión 2
Problema 1435
OMCC, 1966-P5
La longitud de la hipotenusa $BC$ de un triángulo rectángulo $ABC$ es $a$ y sobre ella se toman los puntos $M$ y $N$ tales que $BM = NC = k$, con $k\lt\frac{a}{2}$. En función de estos datos $a$ y $k$, calcular:
- El valor de la suma de los cuadrados de las longitudes $AM$ y $AN$.
- La razón de las áreas de los triángulos $ABC$ y $AMN$.
- El área encerrada por la circunferencia que pasa por los puntos $A$ , $M'$ y $N'$, siendo $M'$ la proyección ortogonal de $M$ sobre $AC$ y $N'$ la de $N$ sobre $AB$.
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Problema 1436
Nos indican que un matrimonio tiene 5 hijos. Calcular la probabilidad de que entre ellos haya por lo menos dos varones y por lo menos una mujer, considerando que la probabilidad de nacer varón o mujer son ambas de $\frac{1}{2}$.
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Problema 1437
Determinar una progresión geométrica de siete términos, sabiendo que la suma de los tres primeros es igual a $7$ y la suma de los tres últimos es igual a $112$.
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Problema 1438
Determinar los valores de $a,b,c$ para que la representación gráfica de la función
\[y= ax^3 + bx^2 + cx\]
tenga un punto de inflexión en el punto de abscisa $x=3$, con recta tangente en dicho punto de ecuación $x − 4y + 1 = 0$. Dibujar después la gráfica correspondiente.
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