Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Pongamos que fabrica $x$ unidades del producto más caro, $y$ unidades del intermedio y $z$ unidades del más económico, luego deben cumplirse las siguientes restricciones: \[\left\{\begin{array}{l}70x+65y+50z=6850,\\x+y+z=100\end{array}\right.\] Multiplicando la segunda ecuación por $70$ y restándole al resultado la primera, llegamos tras simplificar a la siguiente condición \[y+4z=30.\] Queremos la solución de esta ecuación en números enteros que minimice $y+z$ (lo que equivale a maximizar $x$). Claramente, debemos tomar $z$ lo mayor posible y completar con $y$. El mayor valor de $z$ que hace que $y+4z$ no pase de $30$ es $z=7$, lo que nos deja con $y=2$ y $x=100-x-y=91$.

Por lo tanto, debemos tomar $91$ unidades del producto que vale 70 pesetas, $2$ unidades del que vale $65$ pesetas y $7$ unidades del que vale $50$ pesetas.

Solución. La ecuación que nos da se escribe como \[49x+7y+z=81z+9y+x\ \Leftrightarrow\ 40z+y-24x=0.\] Por tanto, $y=8(3x-5z)$ es múltiplo de $8$, lo que nos lleva a que $y=0$ (ya que en base $7$ no puede haber un dígito $8$. Tenemos así que $3x=5z$, luego $x$ tiene que ser múltiplo de $5$ pero no puede ser $x=0$ (ya que el número tiene tres cifras) ni $x\geq 7$ y nos queda que $x=5$, de donde $z=3$. Tenemos así que el número es $503_{(7)}=305_{(9)}=248_{(10)}$.

Solución. Sea $Q$ el punto medio de $AB$ y llamemos $x=QM$, de forma que queremos minimizar el valor de la función \[f(x)=2q\sqrt{x^2+4}+(7-x)p\] cuando $x$ varía en el intervalo $[0,7]$ (aquí hemos usado el teorema de Pitágoras para calcular $AM=MB=\sqrt{x^2+4}$). La función es infinitamente derivable y podemos calcular sus primeras dos derivadas fácilmente: \[f'(x)=\frac{2qx}{\sqrt{x^2+4}}-p,\qquad f''(x)=\frac{8q}{(x^2+4)^{3/2}}.\] Observamos que $f''(x)\gt 0$, luego se trata de una función estrictamente convexa y tendrá un único mínimo absoluto en $\mathbb{R}$ independientemente de los valores de $p$ y $q$. Ahora la observación clave es darse cuenta de que la convexidad también nos dice que en dicho mínimo pasa de decreciente a creciente, luego será suficiente estudiar los valores de la derivada en $x=0$ y $x=7$ para discutir el problema. Tenemos que $f'(0)=-p\lt 0$ y $f'(7)=\frac{14q}{\sqrt{53}}-p$, lo que nos permite distinguir dos casos:

• Si $\frac{14q}{\sqrt{53}}-p\leq 0$, es decir, $\frac{p}{q}\geq\frac{14}{\sqrt{53}}$, entonces $f(x)$ es estrictamente decreciente en $[0,7]$ y tendrá su mínimo en $x=7$, esto es, en este caso el cable será de longitud $0$.
• Si $\frac{14q}{\sqrt{53}}-p\gt 0$, es decir, $0\lt\frac{p}{q}\lt\frac{14}{\sqrt{53}}$, entonces $f'(7)\gt 0$ y el mínimo será interior. Podemos resolver $f'(x)=0$ para obtener que este ocurre para $x=\frac{2p}{\sqrt{4q^2-p^2}}$, es decir, cuando el punto $M$ está a esta distancia del techo.

Solución. Como los sucesos independientes son los nacimientos y hay dos posibilidades para cada uno de ellos, consideramos que hay $2^5=32$ casos equiprobables. Hay tres posibles escenarios para que suceda que haya al menos dos varones y al menos una mujer:

• Que haya 4 varones y una mujer. Esto representa $5$ de los $32$ casos posibles, ya que la mujer puede nacer la primera, la segunda, la tercera, la cuarta o la quinta.
• Que haya $3$ varones y $2$ mujeres. Esto equivale a elegir $2$ elementos de un conjunto de $5$, es decir, habrá $\binom{5}{2}=10$ casos favorables a este supuesto de los $32$ posibles.
• Que haya $2$ mujeres y $3$ varones. Es idéntico al caso anterior por la equiprobabilidad de nacer hombre o mujer, lo que nos da otros $10$ casos posibles.

Deducimos así que hay $25$ casos favorables de los $32$ posibles y, por tanto, la probabilidad que nos piden es $\frac{25}{32}$.

Solución. Si llamamos $a,ar,ar^2,\ldots,ar^6$ a los términos de la sucesión, las condiciones del enunciado se traducen en el sistema de ecuaciones \[\left\{\begin{array}{l} a(1+r+r^2)=7,\\ a(r^4+r^5+r^6)=112. \end{array}\right.\] Dividiendo la segunda ecuación entre la primera, llegamos a que $r^4=\frac{112}{7}=16$, de donde deducimos que $r=\pm 2$.

• Si $r=2$, la primera ecuación queda $a(1+2+4)=7$, lo que nos da $a=1$ y obtenemos la progresión geométrica $\{1,2,4,8,16,32,64\}$.
• Si $r=-2$, entonces la primera ecuación nos da $a(1-2+4)=7$, de donde $a=\frac{7}{3}$ y nos queda la progresión geométrica $\{\frac{7}{3},\frac{-14}{3},\frac{28}{3},\frac{-56}{3},\frac{112}{3},\frac{-224}{3},\frac{448}{3}\}$.

Estas son las dos soluciones posibles al problema.

Solución. Consideremos $f(x)=ax^3+bx^2+c$. La ecuación de la recta tangente en $x=3$ es \[y=f(3)+f'(3)(x-3)=\frac{1}{4}(x+1),\] luego por comparación de coeficientes, tenemos que $f'(3)=\frac{1}{4}$ y $f(3)-3f'(3)=\frac{1}{4}$, de donde deducimos que $f(3)=1$. Finalmente, el punto de inflexión nos da $f''(3)=0$. Ahora podemos usar que el polinomio puede expresarse como suma de potencias de $x-3$ de forma que \begin{align*} f(x)&=f(3)+f'(3)(x-3)+\frac{f''(3)}{2}(x-3)^2+\frac{f'''(3)}{6}(x-3)^3 \\ &=1+\frac{1}{4}(x-3)+\frac{f'''(3)}{6}(x-3)^3 \end{align*} Como quiera que $f(0)=0$, tenemos que $0=\frac{1}{4}-\frac{9}{2}f'''(3)$, de donde $f'''(3)=\frac{1}{18}$. Por lo tanto, la función que buscamos es \[f(x)=1+\frac{1}{4}(x-3)+\frac{1}{108}(x-3)^3=\frac{x}{2}-\frac{x^2}{12}+\frac{x^3}{108}\] y se tiene que $a=\frac{1}{2}$, $b=\frac{-1}{12}$ y $c=\frac{1}{108}$.

Ahora bien, $f'(x)=\frac{1}{4}+\frac{1}{36}(x-3)^2$ nunca se anula, luego se trata de una función estrictamente creciente que corta al eje $OX$ únicamente en el origen, con único punto de inflexión en $x=3$ (es un polinomio cúbico). Dando unos cuantos valores a $x$ se puede esbozar fácilmente la gráfica de la función, que se indica a continuación.

Nota. También se puede trabajar directamente con las potencias de $x$ en lugar de $x-3$, aunque es interesante conocer cómo se desarrolla un polinomio en un punto dado.