Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se sabe que la función real $f(t)$ es monótona creciente en el intervalo $−8\leq t\leq 8$, pero no se sabe nada de lo que ocurre fuera de éste. ¿En qué intervalo de valores de $x$ se puede asegurar que sea monótona creciente la función $f(2x-x^2)$?

Determinar los polos de las inversiones que transforman cuatro puntos $A,B,C,D$ alineados en este orden en cuatro puntos $A',B',C',D'$ que sean vértices de un rectángulo y tales que $A'$ y $C'$ sean vértices opuestos.

Un semáforo instalado en un cruce principal de una vía en la que se circula en ambos sentidos permanece en rojo $30$s y en verde otros $30$s, alternativamente. Se desea instalar otro semáforo en la misma vía, para un cruce secundario situado a $400$m de distancia del primero, que funcione con el mismo período de 1 min de duración. Se quiere que los coches que circulan a $60$km/h por la vía en cualquiera de los dos sentidos y que no se tienen que parar si sólo hubiese el semáforo del cruce principal tampoco se tengan que parar después de instalar el del cruce secundario. ¿Cuántos segundos puede estar encendido el rojo en el semáforo secundario?

Se tiene un botella de fondo plano y circular, cerrada y llena parcialmente de vino, de modo que su nivel no supere la parte cilíndrica. Discutir en qué casos se puede calcular la capacidad de la botella sin abrirla, disponiendo solamente de un doble decímetro graduado; en caso de que sea posible, describir cómo se calcularía. (Problema de la Gara Matematica italiana)

Sea $\gamma$ una semicircunferencia de diámetro $AB$. Se construye una línea poligonal con origen en $A$ y que tiene sus vértices alternativamente en el diámetro $AB$ y en la semicircunferencia $\gamma$, de modo que sus lados forman ángulos iguales $\alpha$ con el diámetro, como se muestra en la figura.

1. Hallar los valores del ángulo $\alpha$ para que la poligonal pase por el otro extremo $B$ del diámetro.
2. La longitud total de la poligonal, en el caso que termine en $B$, en función de la longitud $d$ del diámetro y del ángulo $\alpha$.

Se tiene un triángulo equilátero $ABC$ de centro $O$ y radio $OA=R$ y se consideran las siete regiones que las rectas que contienen los lados determinan sobre el plano. Se pide dibujar y describir la región del plano tansformada de las dos regiones sombreadas en la figura por la inversión de centro $O$ y potencia $R^2$.

Por una carretera circula una caravana de coches, todos a la misma velocidad, manteniendo la separación mínima entre uno y otro dada, en metros, por $v^2/100$, donde $v$ es la velocidad expresada en km/h. Suponiendo que la longitud de cada coche es de $2.89$m, calcular la velocidad a la que deben circular para que la capacidad de tráfico resulte máxima, es decir, para que en un tiempo fijado pasen el máximo número de vehículos por un punto de la carretera.