Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Observamos que la función $g(x)=2x-x^2=1-(x-1)^2$ toma el valor $-8$ en $x=-2$ y $x=4$, pero no toma el valor $8$ ya que tiene su máximo en $x=1$, donde vale $1$. Además, en $[-2,1]$ es creciente y en $[1,4]$ es decreciente. Por lo tanto:

• Fuera del intervalo $(-2,4)$ no sabemos la monotonía de $f(g(x))$ ya que desconocemos lo que le pasa a $f$ fuera del intervalo $[-8,8]$.
• Para $x,y\in[-2,1]$ con $x\lt y$, se tiene que $-8\leq g(x)\leq g(y)\leq 1$, luego $f(g(x))\leq f(g(y))$ y hemos probado que $f(g(x))$ es monótona creciente en $[-2,1]$.
• Para $x,y\in[1,4]$ con $x\lt y$, se tiene que $-8\leq g(y)\leq g(x)\leq 1$, luego $f(g(y))\leq f(g(x))$ y tenemos que $f(g(x))$ es monótona decreciente en $[1,4]$.

Por lo tanto, solo podemos asegurar que $f(2x-x^2)$ es monótona creciente en $[-2,1]$.

Solución. Si $A'B'C'D'$ es un rectángulo, entonces las rectas $A'C'$ y $B'D'$ son diámetros de su circunferencia circunscrita $\Gamma'$. Al volver a aplicar la inversión, $\Gamma'$ se convierte en $\Gamma$, la recta que contiene a $A,B,C,D$, luego las diagonales del rectángulo se transforman en las circunferencias ortogonales a $\Gamma$ de diámetros $AC$ y $BD$. El centro $P'$ de $A'B'C'D'$ debe corresponderse por la inversión con uno de los puntos $P$ de intersección de estas dos circunferencias ortogonales a $\Gamma$. Por simetría, podemos suponer que $P$ es uno de ellos. El otro debe ser el centro de la inversión $O$ ya que debe transformar estas circunferencias en rectas (las diagonales $A'C'$ y $B'D'$).

Finalmente veamos qué pasa con la potencia de la inversión, porque aún no sabemos que sea factible que haya una inversión de centro $O$ que haga esta transformación. Sin embargo, cualquier inversión de centro $O$ cumple la propiedad ya que por tal inversión $A'C'$ y $B'D'$ son rectas y $\Gamma$ se transforma en $\Gamma'$ perpendicular a estas rectas, luego el transformado $O'$ es el centro de $\Gamma'$ y del rectángulo.

Solución. Un coche a $60$ km/h tarda $24$ s en recorrer $400$ m. Pongamos un reloj segundero de forma que el cruce principal abre en en el intervalo $[0,30]$ y cierra en el intervalo $[30,60]$. Entonces, un coche A por el cruce principal en $[0,30]$ y circula a $60$ km/h llega al secundario en el intervalo $[24,54]$. Un coche B que vienen en sentido contrario a $60$ km/h y quiere llegar al cruce principal en $[0,30]$ deben haber pasado por el secundario en $[-24,6]$. Trabajando módulo $60$, esto nos deja libre únicamente el intervalo $[6,24]$, luego la respuesta es $18$ s.

Solución. Este es un problema de ingenio. En principio, podemos calcular la altura $h_v$ del cilindro que forma el vino (siempre que el doble decímetro la abarque). Al darle la vuelta y poner la botella en vertical con el cuello hacia abajo, el aire formará un cilindro del que también podemos medir su altura $h_a$. Entonces, el volumen es la suma de los volúmenes de los dos cilindros $\pi r^2(h_a+h_v)$, donde nos queda por calcular $r$, el radio del cilindro.

Para ello, ponemos el doble decímetro sobre la base de la botella y marcamos los puntos $A,B,C,D$ en los que los lados del decímetro cortan a la circunferencia, siendo $AB$ y $CD$ cuerdas paralelas de la circunferencia. Podemos marcar los puntos medios de $AB$ y $CD$ (midiendo) y luego trazamos la recta que los une, que será un diámetro de la circunferencia. Teniendo este diámetro, lo dividimos entre $2$ para obtener el radio.

Con este método, se puede calcular el volumen siempre que se cumplan las siguientes condiciones:

• al voltear la botella el nivel del vino queda en la parte cilíndrica,
• la altura del vino y del aire no excede los $20$ cm que permite medir el doble decímetro,
• el ancho del doble decímetro es menor que el diámetro de la base de la botella.

Solución. Llamemos $A_0,A_1,A_2,\ldots,A_n$ a los vértices sobre la circunferencia en ese orden, con $A_0=A$. Si consideramos $A'_k$ el punto simétrico de $A_k$ respecto del diámetro $AB$ para $1\leq k\leq n-1$, obtenemos un ángulo inscrito $\angle A_{k-1}A'_kA_{k+1}=180-2\alpha$, luego el ángulo central $\angle A_{k-1}OA_{k+1}$ es igual a $360^\circ-4\alpha$. Esto nos dice que los arcos $A_0A_2,A_1A_3,A_2A_4,\ldots,A_{n-2}A_n$ tienen todos la misma longitud. Ahora bien, $A_0A_1O$ es un triángulo isósceles, de donde $\angle A_0OA_1=180^\circ-2\alpha$ y, por lo anteriormente probado, $\angle A_1OA_2=\angle A_0OA_2-\angle A_0OA_1=180^\circ-2\alpha$.

De las relaciones anteriores, se obtiene que $\angle A_kOA_{k+1}=180^\circ-2\alpha$ para todo $0\leq k\leq n-1$. En particular, para que la poligonal llegue a $B$, el ángulo $180^\circ-2\alpha$ tiene que ser un divisor entero de $180^\circ$, es decir, $\frac{180}{180-2\alpha}=n$ para algún $n\in\mathbb{N}$. Despejando $\alpha$, obtenemos que la condición que buscamos es que exista $n\in\mathbb{N}$ tal que $\alpha=\frac{1-n}{n}90^\circ$.

Solución. Como $OA=OB=OC=R$, se tiene que los puntos $A,B,C$ son dobles por la inversión. Por lo tanto, las rectas $AB,BC,CA$ se transforman en las circunferencias circunscritas a los triángulos $ABO,BCO,CAO$, respectivamente. Ahora sólo falta ver qué región va a cual para obtener la región transformada en rosa de la figura.

Solución. Un coche junto con su separación con el siguiente ocupan $\frac{v^2}{100}+2,\!89$ m. Como van a una velocidad de $v$ km/h, que son $1000v$ m/h y el tiempo es igual al espacio dividido entre velocidad, todo el paquete coche-espacio tarda en pasar un tiempo en horas \[t(v)=\frac{\frac{v^2}{100}+2,\!89}{1000v}.\] Maximizar el número de vehículos equivale a minimizar $t(v)$ para $v\gt 0$. Multiplicando por $10^5$, esto a su vez equivale a minimizar \[f(v)=v+\frac{289}{v}.\] Esta función es derivable en $(0,+\infty)$ y tiene derivada \[f'(v)=1-\frac{289}{v^2},\] que sea anula únicamente en $v=\sqrt{289}=17$. La derivada es negativa hasta este valor y luego positiva, luego se trata del mínimo absoluto en $(0,+\infty)$. Deducimos así que la velocidad óptima es $17$ km/h.

Solución. Esto es una forma de diagramar el siguiente código de programación en C:

  A = a[0];
  for (i = 1; i <= n; i++){
    P = A*b;
    A = P+a[i];
  }
  return A;

Podríamos incluso mejorarlo un poco haciendo directamente A=A*b+a[i] pero esto es muy informático ya que en matemáticas no se puede usar el operador = como asignación. Para calcular la derivada, tenemos que cambiar a[i] por (n-i)*a[i] ya que los coeficientes están ordenados en orden inverso y $a_i$ es el coeficiente de $x^{n-i}$:

  A = n*a[0];
  for (i = 1; i <= n; i++){
    P = A*b;
    A = P + (n-i)*a[i];
  }
  return A;

Por lo tanto, el organigrama es como en la figura.