Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Elevando al cuadrado para eliminar las raíces, estas condiciones se traducen en \[a^2(-t_0)=9,\qquad a^2(4-t_0)=\frac{10000}{81}.\] Dividiendo ambas ecuaciones para eliminar $a^2$, tenemos que \[\frac{t_0-4}{t_0}=\frac{10000}{729}\ \Leftrightarrow\ 243t_0-972=10000t_0\ \Leftrightarrow\ t_0=\frac{-2916}{9757}\approx-0.314529.\] Concluimos que el agua comenzó a helarse aproximadamente $0.314529$ horas antes de la medianoche.

1. Supongamos por reducción al absurdo que $f$ es continua. Para $\epsilon=\frac{1}{2}$ deberá existir $\delta\gt 0$ tal que $|f(x)-f(0)|\lt\frac{1}{2}$ siempre que $|x|\lt\delta$. Sin embargo, existe $n\in\mathbb{N}$ tal que $|\frac{1}{2n}|=|\frac{-1}{2n}|\lt\delta$, luego tiene que ser $|f(\frac{1}{2n})-f(0)|\lt\frac{1}{2}$ y $|f(\frac{-1}{2n})-f(0)|\lt\frac{1}{2}$. Como $f(\frac{1}{2n})=1$ y $f(\frac{-1}{2n})=-1$, tendremos que $f(0)$ está a distancia menor que $\frac{1}{2}$ tanto de $1$ como de $-1$, lo cual es imposible por la desigualdad triangular.
2. En este caso, la función sí que es continua ya que para cada $\varepsilon >0$ puede tomarse directamente $\delta=\sqrt{\epsilon}$ en la definición de continuidad.
3. En este caso no puede decidirse. Si, por ejemplo, fuera $f(x)=1$ para todo $x\in\mathbb{R}$, la función sería continua por ser constante. Si, por el contrario, fuera $f(x)=-1$ para todo $x\neq\frac{1}{n}$, la función no sería continua por el mismo motivo que en el apartado (a).

Pongamos coordenadas de forma que $B=(0,0)$, $C=(c,0)$ y $A=(a,b)$. Como un lado del rectángulo está apoyado en $BC$, el lado opuesto estará en la recta paralela $y=\lambda b$ para $0\leq\lambda\leq 1$, que corta a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $(\lambda a,\lambda b)$ y $(\lambda a+(1-\lambda)c,\lambda c)$, respectivamente. Los otros dos vértices del rectángulo son, por lo tanto, $(\lambda a,0)$ y $(\lambda a+(1-\lambda)c,0)$. El centro del rectángulo se puede calcular como la media de los cuatro vértices, es decir, \[M=\left(\lambda a+\frac{1-\lambda}{2}c,\frac{\lambda}{2}b\right)=\lambda\left(a,\frac{b}{2}\right)+(1-\lambda)\left(\frac{c}{2},0\right).\] Al variar $\lambda\in[0,1]$ el punto $M$ describe el segmento que une $(a,\frac{b}{2})$ y $(\frac{c}{2},0)$, es decir, el segmento de extremos el punto medio de la altura desde el vértice $A$ y el punto medio del lado $BC$.

Por lo tanto, si el triángulo es acutángulo, el lugar geométrico consistirá en la unión de tres segmentos; en caso contrario, será un único segmento.

1. El circuncentro es el punto que equidista de los tres vértices, luego los puntos de la perpendicular a una cara en su circuncentro también equidistan de los vértices de esa cara. Por lo tanto, las cuatro perpendiculares se cortarán en el punto que equidista de los cuatro vértices, el circuncentro del tetraedro (centro de la única esfera que pasa por esos cuatro puntos).
2. En el caso de los ortocentros, podemos considerar un tetraedro de vértices $O=(0,0,0)$, $A=(1,0,0)$, $B=(0,0,1)$ y $C=(0,1,1)$. Las caras $OAC$ y $OBC$ son triángulos rectángulos cuyos ortocentros son $O$ y $C$, respectivamente. Como estas caras están contenidas en los planos $OXZ$ y $OYZ$, se sigue que dos de las cuatro rectas perpendiculares que debemos considerar son $x=z=0$ y $z-1=y=0$. Estas dos rectas no se cortan ya que una está en el plano $z=0$ y la otra en $z=1$, Por lo tanto, la respuesta es negativa en general.
3. En el caso de los incentros, podemos tomar la misma configuración $O=(0,0,0)$, $A=(a,0,0)$, $B=(0,b,0)$ y $C=(0,0,c)$. El incentro de $OAB$ está en el plano bisector $x=y$, el de $OBC$ en $y=z$ y el de $OCA$ en $z=x$. Por lo tanto, si las rectas se cortaran tendría que ser en un punto con $x=y=z$. Esto nos dice que los triángulos $OAB,OBC,OCA$ deberían tener el mismo inradio, pero puede elegirse $a,b,c$ para que esto no ocurra. Por lo tanto, la respuesta es también negativa en general.

1. Sea $n$ un entero positivo. El primer término que tiene $n$ cifras, debe tener su cifra más significativa igual a $1$, por lo que podemos asegurar que está entre $10^{n-1}$ y $2\cdot 10^{n-1}$. El siguiente término estará entre $2\cdot 10^{n-1}$ y $4\cdot 10^{n-1}$, el siguiente a este estará entre $4\cdot 10^{n-1}$ y $8\cdot 10^{n-1}$. Esto nos da tres términos consecutivos de $n$ cifras (para cualquier $n$) luego la respuesta a este apartado es negativa.
2. Siguiendo con el razonamiento anterior, el siguiente número está entre $8\cdot 10^{n-1}$ y $16\cdot 10^{n-1}$, que podría tener o no $n$ cifras. Lo que es seguro es que el quinto está entre $16\cdot 10^{n-1}$ y $32\cdot 10^{n-1}$ y tiene necesariamente $n+1$ cifras. Esto nos da una respuesta también negativa a este apartado.
3. Siguiendo aún más, tenemos que el sexto número está entre $32\cdot 10^{n-1}$ y $64\cdot 10^{n-1}$ y el séptimo entre $64\cdot 10^{n-1}$ y $128\cdot 10^{n-1}$. El octavo ya tendrá $n+2$ cifras, luego puede haber máximo $7$ consecutivos con $n$ y $n+1$ cifras. La respuesta es, por lo tanto, negativa de nuevo.
4. Supongamos que $2^k,2^{k+1},\ldots,2^{k+r}$ es una cadena de longitud máxima de potencias de dos de forma que no haya cuatro con el mismo número de cifras. Entonces, está claro que las tres primeras $2^k,2^{k+1},2^{k+2}$ tienen un cierto número de cifras y la anterior $2^{k-1}$ también tiene el mismo número de cifras (en caso contrario, se podría extender la cadena). De la misma forma, las tres últimas $2^{k+r-2},2^{k+r-1},2^{k+r}$ tienen el mismo número de cifras y la siguiente $2^{k+r+1}$ tiene el mismo número de cifras. La cadena de potencias queda, por tanto, dividida en conjuntos de tres potencias consecutivas con el mismo número de cifras por el apartado (a), es decir, $r$ es necesariamente un múltiplo de $3$.

   Ahora bien, haciendo el mismo argumento de los apartados anteriores a partir de $2^{k+3}$, que supondremos entre $10^{n-1}$ y $2\cdot 10^{n-1}$, como las primeras potencias de $2$ son \[1,\quad 2,\quad 4,\quad 8,\quad 16,\quad 32,\quad 64,\quad 128,\quad 256,\quad 512,\quad 1024,\quad 2048,\quad 4094,\quad 8192\ldots,\]

   tenemos necesariamente que $2^{k+15}$ está entre $4094\cdot 10^{n-1}$ y $8192\cdot 10^{n-1}$, luego tiene $n+3$ cifras. En otras palabras, las trece potencias $2^{k+3},2^{k+4},\ldots,2^{k+15}$ tienen entre $n$ y $n+3$ cifras y debe haber al menos cuatro con el mismo número de cifras por el principio del palomar. Por lo tanto, se sigue que $r\leq 14$, es decir, la solución a este apartado es un número menor o igual que $15$.

   Ver que realmente la solución es $15$ excede cualquier cálculo razonable y posiblemente al proponer el problema no se ha pensado en hacer esta parte sino en dar únicamente la cota superior. Hay que encontrar quince potencias de $2$ consecutivas que cumplan la propiedad y las potencias más pequeñas que hacen esto son \[2^{91},2^{92},2^{93},\ldots,2^{105}.\]

• El rayo tiene que recorrer $2n$ cuadrados en horizontal y $2m$ en vertical, luego tiene que salir con un ángulo $\arctan(\frac{m}{n})$ respecto del lado norte. Da igual en qué sentido se mide el ángulo porque coger un ángulo u otro corresponde con hacer el camino inverso.
• La distancia recorrida es $2\ell\sqrt{m^2+n^2}$, siendo $\ell$ la longitud del lado del cuadrado.
• Si $m$ y $n$ no son primos entre sí, entonces se pasa por el punto inicial más de una vez antes de terminar en dicho punto final en las condiciones dadas.

Nota. Se está suponiendo que si el rayo impacta exactamente en una esquina del cuadrado, entonces vuelve por el mismo camino y se cuenta como que ha rebotado en los dos lados que forman esa esquina.