Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En una noche la temperatura del aire se mantuvo constante, varios grados bajo cero, y la del agua de un estanque cilíndrico muy extenso, que formaba una capa de 10 cm de profundidad, llegó a ser de cero grados, comenzando entonces a formarse una capa de hielo en la superficie. En estas condiciones puede admitirse que el espesor de la capa de hielo formada es directamente proporcional a la raíz cuadrada del tiempo transcurrido. A las 0:00h, el espesor del hielo era de $3$cm y a las 4:00h justamente se acabó de helar el agua del estanque. Calcular a qué hora comenzó a formarse la capa de hielo, sabiendo que la densidad del hielo formado era de $0.9$.

Razonar si puede afirmarse, negarse o no puede decidirse la continuidad en el punto $x = 0$ de una función real $f(x)$ de variable real, en cada uno de los tres casos (independientes):

1. Se sabe únicamente que $f(\tfrac{1}{2n})=1$ y $f(\tfrac{-1}{2n})=-1$ para todo $n$ natural.
2. Se sabe que $f(x)=x^2$ para $x$ real no negativo y $f(x)=0$ para $x$ real negativo.
3. Se sabe únicamente que $f(\tfrac{1}{n})=1$ para todo $n$ natural.

Dado un cuadrado cuyo lado mide $a$, se considera el conjunto de todos los puntos de su plano por los que pasa una circunferencia de radio a cuyo círculo contenga al cuadrado citado. Probar que el contorno de la figura formada por los puntos con esa propiedad está formado por arcos de circunferencia y determinar las posiciones de sus centros, sus radios y sus longitudes.

En los dos extremos $A$ y $B$ de un diámetro de longitud $2r$ de un pavimento circular horizontal se levantan sendas columnas verticales, de igual altura $h$, cuyos extremos soportan una viga $A'B'$ de longitud igual a $2r$. Se forma una cubierta colocando numerosos cables tensos (que se admite que quedan rectilíneos), uniendo puntos de la viga $A'B'$ con puntos de la circunferencia borde del pavimento, de manera que los cables queden perpendiculares a la viga $A'B'$. ¿Cuál es el volumen encerrado entre la cubierta y el pavimento?

Hallar el lugar geométrico de los centros de los rectángulos cuyos cuatro vértices están sobre los lados de un triángulo dado.

Razonar si en todo tetraedro son concurrentes:

1. Las perpendiculares a las caras en sus circuncentros.
2. Las perpendiculares a las caras en sus ortocentros.
3. Las perpendiculares a las caras en sus incentros.

En caso afirmativo, caracterizar con alguna propiedad geométrica sencilla el punto en que concurren. En caso negativo, mostrar un ejemplo en el que se aprecie claramente la no concurrencia.

En la succesión de potencias de 2 (escritas en el sistema decimal, comenzando con $2^1 = 2$) hay tres términos de una cifra, otros tres de dos cifras, otros tres de tres, cuatro de cuatro, tres de cinco, etc. Razonar claramente las respuestas a las cuestiones siguientes:

1. ¿Puede haber solamente dos términos con un cierto número de cifras?
2. ¿Puede haber cinco términos con el mismo número de cifras?
3. ¿Puede haber cuatro términos de $n$ cifras, seguidos de cuatro con $n+1$ cifras?
4. ¿Cuál es el número máximo de potencias consecutivas de 2 que pueden encontrarse sin que entre ellas haya cuatro con el mismo número de cifras?

Supondremos que los lados de un cuadrado son reflectantes y los designaremos con los nombres de los cuatro puntos cardinales (N-E-S-W). Señalando un punto en el lado N, determinar en qué dirección debe salir un rayo de luz (hacia el interior del cuadrado) para que retorne a él después de haber sufrido $n$ reflexiones en el lado $E$, otras $n$ en el lado $W$, $m$ en el $S$ y $m-1$ en el $N$, siendo $n$ y $m$ números naturales conocidos. ¿Qué ocurre si $m$ y $n$ no son primos entre sí? Calcular la longitud del rayo luminoso considerado en función de $m$ y $n$ y de la longitud del lado del cuadrado.