Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Que estén alineados quiere decir que existe un número real $\lambda\in\mathbb{R}$ tal que $z-i=\lambda(i-iz)$. De esta ecuación puede despejarse fácilmente \[z=\frac{i(\lambda+1)}{1+\lambda i}=\frac{i(\lambda+1)(1-\lambda i)}{1+\lambda^2}=\frac{\lambda(1+\lambda)}{1+\lambda^2}+\frac{\lambda+1}{1+\lambda^2}i,\] luego el problema se reduce a entender qué representan esos números complejos al variar $\lambda\in\mathbb{R}$. Si llamamos $x=\frac{\lambda(1+\lambda)}{1+\lambda^2}$ a la parte real e $y=\frac{\lambda+1}{1+\lambda^2}$ a la parte imaginaria, tenemos que \[x^2+y^2=\frac{\lambda^2(1+\lambda)^2}{(1+\lambda^2)^2}+\frac{(1+\lambda)^2}{(1+\lambda^2)^2}=\frac{(1+\lambda)^2}{1+\lambda^2}=x+y,\] que puede reescribirse como \[(x-\tfrac{1}{2})^2+(y-\tfrac{1}{2})^2=\tfrac{1}{2}.\] Esto nos dice que los puntos del enunciado están contenidos en la circunferencia de centro $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$ y radio $\frac{1}{\sqrt{2}}$. Al variar $\lambda\in\mathbb{R}$ es fácil ver que las funciones $(x,y)$ recorren todos los puntos de la circunferencia excepto el $(1,0)$. Este hay que incluirlo también ya que se corresponde con el límite $\lambda=\pm\infty$ y se puede obtener para $\lambda=0$ cuando cambiamos la relación $z-i=\lambda(i-iz)$ por $\lambda(z-i)=i-iz$.

Nota. En realidad la condición de alineación debería escribirse rigurosamente como $\lambda(z-i)=\mu(i-iz)$ para ciertos números reales $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$, que refleja el hecho de que, como vectores, $z-i$ e $i-iz$ son proporcionales.

Solución. Fijemos la cara de color blanco (podría ser cualquier otro). Hay cinco posibles colores en la cara opuesta. Para cada uno de ellos, podemos tomar una de las cuatro caras restantes y fijar otro color. Para la casilla opuesta a este último habrá tres posibles colores. Finalmente, hay dos posibles colocaciones de los dos colores restantes y son distinguibles. Por tanto, el número de dados distintos es $5\cdot 3\cdot 2=30$.

Solución. Cualquier corte de un polígono convexo es a lo largo de un segmento que une dos vértices, un vértice con un punto interior de un lado o bien dos puntos interiores de dos lados. Tras hacer el corte, quedan dos polígonos que tienen entre ambos a lo sumo $n+3$ lados (en el caso de cortar por puntos interiores de dos lados) y uno de ellos tendrá a lo sumo $\frac{n+3}{2}$ lados, pero $\frac{n+3}{2}\leq 4$ para $n\geq 5$, luego una de las piezas no podrá ser semejante al original simplemente porque tiene menos lados.

En el caso de un triángulo $ABC$, la única forma de que tras cortar queden dos triángulos es cortar por un segmento que una un vértice, pongamos $A$, con un punto interior $P$ del lado opuesto $BC$. Si $AP$ no es ortogonal a $BC$, entonces uno de los ángulos $\angle APB$ o $\angle APC$ será obtuso y sumará con el otro $180^\circ$. Por tanto, cada uno de los dos triángulos deberá tener dos ángulos que sumen $180^\circ$ y esto es imposible. Deducimos entonces que $AP$ es perpendicular a $BC$ y esto nos lleva a cualquier triángulo rectángulo cortado por la altura sobre su hipotenusa (¿sabrías justificarlo rigurosamente?).

En el caso de un cuadrilátero $ABCD$, para obtener de nuevo cuadriláteros debemos cortar por el segmento que une dos puntos interiores de lados opuestos, pongamos $P$ en $AB$ y $Q$ en $CD$. Los dos cuadriláteros pequeños comparten dos ángulos con el grande y los otros dos ángulos de los pequeños deben tener la misma amplitud que los restantes del grande, no obstante, el corte forma dos ángulos que suman $180^\circ$. Por tanto, el cuadrilátero grande debe tener dos pares de ángulos iguales suplementarios, que nos lleva a que debe ser o bien un trapecio isósceles o bien un paralelogramo. El primer caso se descarta fácilmente ya que entonces uno de los cuadriláteros pequeños debería ser un paralelogramo y el grande no lo es. En el segundo caso, $PQ$ debe ser paralela a $AD$ y $BC$, luego la semejanza nos lleva a que deba ser $\frac{AB}{BC}=\frac{PQ}{AP}=\frac{PQ}{BP}$. La última proporción nos lleva directamente a que $AP=PB$, luego $P$ y $Q$ son los puntos medios de $AB$ y $CD$, respectivamente. Como $PQ=BC$, la primera proporción nos dice que $BC^2=AB\cdot AP=\frac{1}{2}AP^2$. Obtenemos así todos los paralelogramos cuyos lados están en proporción $\sqrt{2}$ cortados por el segmento que une los puntos medios de sus lados mayores.

Solución. La desigualdad $P(x)\leq P(x)^2$ no es cierta para todos los polinomios (un contraejemplo es $P(x)=x$ ya que se tiene que $x\leq x^2$ únicamente si $x\geq 1$ o $x\leq 0$). La segunda desigualdad sí que es cierta puesto que el polinomio $z^2-z+1=(z-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}$ es positivo para todo $z\in\mathbb{R}$, en particular para $z=P(x)$. La tercera desigualdad también es cierta puesto que el polinomio $z^2-2z+1=(z-1)^2$ es mayor o igual que $0$, en particular para $z=P(x)$.

En cuanto al apartado (b), vamos a utilizar la desigualdad $|z|\leq \frac{1+z^2}{2}$, que se deduce de la misma forma que en la tercera desigualdad del apartado (a). Podemos escribir los dos polinomios como $P(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n$ y $Q(x)=b_0+b_1x+\ldots+b_nx^n$ (si son de distinto grado, completamos con sumandos cero). La desigualdad triangular nos dice que \begin{align*} |P(x)|&=\left|\sum_{k=0}^na_kx^k\right|\leq\sum_{k=0}^n|a_k|\cdot|x|^k\leq\sum_{k=0}^n\frac{|a_k|}{2^k}(1+x^2)^k,\\ |Q(x)|&=\left|\sum_{k=0}^nb_kx^k\right|\leq\sum_{k=0}^n|b_k|\cdot|x|^k\leq\sum_{k=0}^n\frac{|b_k|}{2^k}(1+x^2)^k. \end{align*} Por tanto, si definimos el polinomio \[M(x)=\sum_{k=0}^n\frac{\max\{|a_k|,|b_k|\}}{2^k}(1+x^2)^k,\] se cumple que $|P(x)|\leq M(x)$ y $|Q(x)|\leq M(x)$, que es lo que queríamos.

Nota. Hay muchas formas de hacer la estimación del valor absoluto del polinomio. Una forma mucho más eficiente consiste, en lugar de escribir $|x|^k\leq\frac{1}{2^k}(1+x^2)^k$, dejar las potencias pares $|x|^{2j}=x^{2j}$ y en las impares hacer $|x|^{2j+1}=x^{2j}|x|\leq\frac{1}{2}x^{2j}(1+x^2)$. Esto garantiza que el grado de $M$ es a lo sumo una unidad más que el grado máximo de $P$ y $Q$. Este es el grado óptimo ya que en general $M$ tiene que ser de grado par de forma que tienda a $+\infty$ tanto en $+\infty$ como en $-\infty$.