Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución.

1. A cada rama se le puede asignar una bifurcación (de la que sale dicha rama) y siempre hay exactamente dos ramas que comparten dicha bifurcación, luego el número total de ramas es $2n$.
2. Cuando a una planta le añadimos una bifurcación como indica la sugerencia, el número de yemas aumenta en una unidad (una yema pasa a una bifurcación que da lugar a dos nuevas yemas). Como una planta con 1 bifurcación tiene solo 2 yemas, una planta con $n$ bifurcaciones tendrá $n+1$ yemas.
3. Para una yema que fijemos, su alejamiento es el número de bifurcaciones que atraviesa, que no es más que el número de ramas que atraviesa. Por lo tanto, cuando sumamos todos los alejamientos estamos sumando una unidad por cada rama que atraviesa cada yema, y por tanto obtenemos la suma de las cargas de todas las ramas.

Solución. Si al primer polinomio le restamos el doble del segundo obtenemos el polinomio \[-5(x^4-6x^3-x^2+30x+25),\] que también debe tener las mismas raíces comunes a los polinomios originales. Haciendo la división de cada uno de los polinomios dados dentre $x^4-6x^3-x^2+30x+25$, obtenemos que \begin{align*} 2 x^5 - 13 x^4 + 4 x^3 + 61 x^2 + 20 x - 25&=(2x-1)(x^4-6x^3-x^2+30x+25),\\ x^5 - 4 x^4 - 13 x^3 + 28 x^2 + 85 x + 50&=(x+2)(x^4-6x^3-x^2+30x+25) \end{align*} Como se trata de dos raíces dobles, deducimos además $x^4-6x^3-x^2+30x+25$ debe ser un polinomio cuadrado perfecto, luego expresamos \[x^4-6x^3-x^2+30x+25=(x^2+ax+b)^2=x^4+2ax^3+(a^2+2b)x^2+2abx+b^2,\] de donde obtenemos que $a=-3$ y $b=-5$ sin más que comparar coeficientes. Como el polinomio $x^2-3x-5$ tiene raíces $\frac{1}{2}(3\pm\sqrt{29})$, deducimos que estas son las dos raíces dobles comunes a los polinomios originales, mientras que la quinta raíz del primer polinomio es $\frac{1}{2}$ y la quinta raíz del segundo polinomio es $-2$.

Solución. Habrá al menos un $45\%$ de estudiantes que hayan aprobado tanto Matemáticas como Física (dado que $70+75=145$ la situación más desfavorable es que el $100\%$ de estudiantes se reparta en $30\%$ que hayan aprobado solo física, $35\%$ solo matemáticas y $45\%$ ambas). Del $10\%$ de suspensos de Filosofía, lo peor que puede ocurrir es que todos ellos sean de los aprobados tanto en Matemáticas y Física, lo que deja un mínimo de $35\%$ de aprobados en las tres asignaturas. Finalmente, del $15\%$ de aprobados en Inglés, podría ocurrir que todos ellos sean de ese $35\%$, lo que nos deja un mínimo del $20\%$ de aprobados en las cuatro asignaturas.

Hemos demostrado que en cualquier caso, al menos un $20\%$ aprueba las cuatro, pero queda por ver que efectivamente se puede alcanzar ese $20\%$. Siguiendo el razonamiento anterior, de hecho puede probarse que, la única situación en la que hay exactamente un $20\%$ de aprobados en las cuatro asignaturas es la siguiente:

un $20\%$ aprueba las cuatro asignaturas,

un $30\%$ aprueba todas menos Física,

un $25\%$ aprueba todas menos Matemáticas,

un $15\%$ aprueba todas menos Inglés,

el $10\%$ restante aprueba todas menos Filosofía.

Solución. Sabiendo que $\cos^2(x)+\mathrm{sen}^2(x)=1$ y $\cos^2(x)+\mathrm{sen}^2(x)=\cos(2x)$, podemos despejar \[\cos^2(x)=\tfrac{1}{2}(1+\cos(2x)),\qquad \mathrm{sen}^2(x)=\tfrac{1}{2}(1-\cos(2x)).\] Sustituyendo en el enunciado y simplificando, obtenemos la siguiente ecuación equivalente: \[-3\cos(2x)+\mathrm{sen}(2x)=1.\] Consideremos ahora un ángulo $\theta=\arccos(\frac{-3}{\sqrt{10}})$, que está en el segundo cuadrante y cumple que $\cos(\theta)=\frac{-3}{\sqrt{10}}$ y $\mathrm{sen}(\theta)=\frac{1}{\sqrt{10}}$. Si dividimos la ecuación anterior por $\sqrt{10}$, podemos reescribirla como \[\cos(\theta-2x)=\cos(\theta)\cos(2x)+\mathrm{sen}(\theta)\mathrm{sen}(2x)=\tfrac{1}{\sqrt{10}}=\cos(90-\theta).\] Si tenemos en cuenta ahora que una ecuación $\cos(a)=\cos(b)$ implica que $a=\pm b+360k$, obtenemos las soluciones \begin{align*} \theta-2x=90-\theta+360k&\ \Longleftrightarrow\ x=-45+\arccos(\tfrac{-3}{\sqrt{10}})+180k,\\ \theta-2x=-90+\theta+360k&\ \Longleftrightarrow\ x=45+180k. \end{align*} Esto nos da exactamente dos soluciones ($x=45$ y $x=-45+\arccos(\tfrac{-3}{\sqrt{10}})$) en el intervalo $[0,180]$, que se van repitiendo periódicamente con período $180$.