Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
VIII Olimpiada Matemática Española (fase nacional) — 1971
Sesión 1
Problema 1505
Calcular la suma
\[\sum_{k=5}^{49}\frac{11_{(k)}}{2\sqrt[3]{1331_{(k)}}},\]
donde el subíndice indica que los números $11$ y $1331$ están escritos en base $k$.
pista
Sin soluciones
infoPista. Fíjate en que $1331_{(k)}$ es un cubo perfecto en cualquier base $k\geq 4$.
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Problema 1506
En una cierta geometría operamos con dos tipos de elementos, puntos y rectas, relacionados entre sí por los axiomas siguientes:
- I. Dados dos puntos $A$ y $B$, existe una única recta $(AB)$ que pasa por ambos.
- II. Sobre una recta existen al menos dos puntos. Existen tres puntos que no situados sobre una misma recta.
- III. Cuando un punto $B$ está situado entre $A$ y $C$, entonces $B$ está también entre $C$ y $A$. ($A,B,C$ son tres puntos diferentes de una recta.)
- IV. Dados dos puntos $A$ y $C$ existe al menos un punto $B$ en la recta $(AC)$ de forma que $C$ está entre $A$ y $B$.
- V. De entre tres puntos situados sobre una misma recta, uno, como máximo, está entre los otros dos.
- VI. Si $A,B,C$ son tres puntos no situados sobre la misma recta y $r$ es una recta que no contiene ninguno de los tres, cuando la recta $r$ pasa por un punto del segmento $[AB]$, entonces pasa por uno del $[BC]$ o pasa por uno del $[AC]$. (Designamos por $[AB]$ al conjunto de puntos que están entre $A$ y $B$).
A partir de los axiomas anteriores, demostrar las proposiciones siguientes:
- Teorema 1. Entre los puntos $A$ y $C$ existe al menos un punto $B$.
- Teorema 2. De entre tres puntos situados sobre una recta, uno está siempre entre los otros dos.
Sin pistas
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Problema 261
Consideremos cuatro números reales $x,y,p,q$ tales que $p,q\gt 0$ y $p+q\lt 1$. Demostrar que
\[(px+qy)^2\leq px^2+qy^2.\]
pistasolución 1solución 2info
Pista. Utiliza la desigualdad de Cauchy-Schwarz o la desigualdad de Jensen.
Solución. Apliquemos la desigualdad de Cauchy-Schwarz a los vectores $u=(\sqrt{p},\sqrt{q})$ y $v=(x\sqrt{p},y\sqrt{q})$. Obtenemos que
\[(px+qy)^2=(u\cdot v)^2\leq (u\cdot u)(v\cdot v)=(p+q)(px^2+qy^2).\]
Como $p+q\lt 1$, deducimos la desigualdad del enunciado.
Solución. Apliquemos la desigualdad de Jensen a la función convexa $f(t)=t^2$ sobre los valores $x$ e $y$, con pesos $\frac{p}{p+q}$ y $\frac{q}{p+q}$ (que suman 1), respectivamente. Tenemos entonces que
\[\left(\frac{px+qy}{p+q}\right)^2=f\left(\frac{p}{p+q}x+\frac{q}{p+q}y\right)\leq\frac{p}{p+q}f(x)+\frac{q}{p+q}f(y)=\frac{px^2+qy^2}{p+q}.\]
Multiplicando ambos miembros por $(p+q)^2$ y usando que $p+q\lt 1$, obtenemos la desigualdad del enunciado.
Nota. La desigualdad de Jensen con pesos aplicada a la función $f(t)=t^2$ también es equivalente a la desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática con pesos.
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Problema 1507
Demostrar que en todo triángulo de lados $a,b,c$ y ángulos opuestos $A,B,C$ medidos en radianes, se cumple que
\[\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}\geq\frac{\pi}{3}.\]
Indicación. Utilizar que si $a\geq b\geq c$, entonces $A\geq B\geq C$.
pistasolución 1info
Pista. Utiliza la desigualdad de reordenación.
Solución. Como se dice en la indicación, si los lados están ordenados $a\geq b\geq c$, entonces los ángulos opuestos cumplen $A\geq B\geq C$ (esto es una consecuencia casi directa del teorema del seno). Entonces, la desigualdad de reordenación nos dice que
\begin{align*}
aA+bB+cC\geq bA+cB+aC,\\
aA+bB+cC\geq cA+aB+bC,\\
aA+bB+cC\geq aA+bB+cC.
\end{align*}
La última es trivial, pero sumando las tres desigualdades llegamos a que
\[3(aA+bB+cC)\geq (a+b+c)(A+B+C)=(a+b+c)\pi,\]
de donde se sigue la desigualdad del enunciado.
Nota. La igualdad en la desigualdad de reordenación se da cuando los números permutados son iguales. Así, deducimos sin mucha dificultad que la igualdad en la desigualdad del enunciado se alcanza cuando $a=b=c$ y $A=B=C$, es decir, cuando el triángulo es equilátero.
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Sesión 2
Problema 1508
Demostrar que cualquiera que sea el nuúmero complejo $z$, se cumple que
\[\left(1+z^{2^n}\right)\left(1-z^{2^n}\right)=1-z^{2^{n+1}}.\]
Escribiendo las igualdades que resultan al dar a $n$ valores enteros no negativos y multiplicándolas, demostrar que, para $|z|\lt 1$ se cumple que
\[\frac{1}{1-z}=\lim_{k\to\infty}(1+z)(1+z^2)(1+z^4)\cdots(1+z^{2^k}\,).\]
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Problema 1509
Las velocidades de un submarino sumergido y en superficie son, respectiva- mente, $v$ y $kv$. El submarino está situado en un punto $P$ a 30 millas del centro $O$ de un círculo de radio $60$ millas. La vigilancia de una escuadra enemiga le obliga a navegar sumergido mientras está dentro del círculo. Discutir, según los valores de $k$, el camino más rápido para trasladarse al extremo opuesto del diámetro que pasa por $P$. Discutir el caso particular $k =\sqrt{5}$.
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Problema 1510
Hallar una inversión que transforma dos circunferencias concéntricas dadas en el plano en dos circunferencias iguales.
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Problema 1511
De entre los $2n$ números $1,2,3,\ldots,2n$ se eligen de cualquier forma $n+1$ números distintos. Demostrar que entre los números elegidos hay por lo menos dos tales que uno divide al otro.
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