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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
IX Olimpiada Matemática Española (fase nacional) — 1972
Sesión 1
Problema 1553problema obsoleto
Sea $\mathbb{K}$ un anillo con unidad y $M$ el conjunto de las matrices $2\times 2$ con elementos en $\mathbb{K}$. Se define en $M$ una suma y un producto de la forma usual entre matrices.
- Comprobar que $M$ es un anillo con unidad y no conmutativo respecto de las leyes de composición así definidas.
- Comprobar que si $\mathbb{K}$ es un cuerpo conmutativo, los elementos de $M$ que tienen inverso están caracterizados por la condición $ad-bc\neq 0$.
- Demostrar que el subconjunto de $M$ formado por los elementos que tienen inverso es un grupo multiplicativo.
pista
Sin soluciones
infoPista. Para el apartado (a), tienes que comprobar que la suma es asociativa, conmutativa, tiene elemento neutro y cada elemento tiene un elemento opuesto; también tienes que comprobar que el producto es asociativo, tiene elemento neutro y la suma es distributiva respecto de él. No obstante, hay que dar algún ejemplo que muestre que la propiedad conmutativa no es cierta en general. Para el apartado (b), observa que el determinante es multiplicativo. Para el apartado (c), tienes que probar que el producto de matrices regulares es regular, es asociativo, tiene elemento neutro y cada matriz regular tiene una simétrica (su inversa).
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Problema 1554problema obsoleto
Un punto se mueve sobre los lados el triángulo $ABC$, cuyos vértices tienen coordenadas $A=(-1.8,0)$, $B=(3.2,0)$ y $C=(0,2.4)$. Determinar las posiciones de dicho punto en las que la suma de sus distancias a los tres vértices es máxima o mínima.
Sin pistas
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Problema 1555
Sea un prisma hexagonal regular. ¿Cuál es la poligonal que, partiendo de un vértice de la base, recorre todas las caras laterales y acaba en el vértice de la cara superior, situado en la misma arista que el vértice de partida y tiene longitud mínima.
Sin pistas
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Problema 1556problema obsoleto
Se consideran en al plano complejo los conjuntos
\begin{align*}
A&=\left\{z\in\mathbb{C}:\arg(z-(2+3i))=\tfrac{\pi}{4}\right\},\\
B&=\left\{z\in\mathbb{C}:|z-(2+i)|<2\right\}.
\end{align*}
Determinar la proyección ortogonal de $A\cap B$ sobre el eje $OX$.
Sin pistas
Sin soluciones
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Sesión 2
Problema 1557
Dadas dos rectas paralelas $r$ y $s$ y un punto $P$ sobre el plano que las contiene y no está sobre ellas. Determinar un triángulo equilátero que tenga por vértice el punto $P$ y los otros dos uno sobre cada una de las dos rectas.
pistasolución 1info
Pista. Usar una rotación de $60^\circ$ puede ser muy útil.
Solución. Consideremos una rotación de $60^\circ$ con centro en $P$ y sea $r'$ la imagen de $r$ por dicha rotación. Como $r'$ y $s$ no son paralelas, se cortarán en un cierto punto $Q'$ de $s$, que será el rotado de un cierto punto $Q$ de $r$ por construcción. Se tiene entonces que $PQQ'$ es el triángulo equilátero que buscamos.
Nota. Para cualquier punto $P$ hay exactamente dos triángulos en las condiciones dadas: el que se obtiene girando en sentido horario y el que se obtiene girando en sentido antihorario.
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Problema 1559
Dadas tres circunferencias de radios $r$, $r'$ y $r''$, cada una tangente exteriormente a las otras dos, calcular el radio del círculo inscrito al triángulo cuyos vértices son los centros de las tres circunferencias.
pistasolución 1info
Pista. Utiliza que el área de un triángulo es igual a su semiperímetro multiplicado por el radio de su circunferencia inscrita.
Solución. Los lados del triángulo son $a=r+r'$, $b=r'+r''$ y $c=r''+r$, luego el radio de su circunferencia inscrita $\rho$ puede calcularse mediante la fórmula $S=\rho p$, siendo $S$ el área del triángulo y $p=\frac{1}{2}(a+b+c)=r+r'+r''$ su semiperímetro. Usando la fórmula de Herón, tenemos que
\[\rho=\frac{S}{p}=\frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p}=\sqrt{\frac{r\cdot r'\cdot r''}{r+r'+r''}}.\]
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Problema 1560
Demostrar que, para todo entero positivo $n$, el número
\[A_n=5^n+2\cdot 3^{n-1}+1\]
es un múltiplo de $8$.
pistasolución 1info
Pista. Analiza cada potencia módulo $8$ o bien usa inducción sobre $n$.
Solución. Vamos a hacer inducción sobre $n$. Para $n=1$, tenemos que $A_1=8$ es múltiplo de $8$. Supuesto cierto que $A_n$ es múltiplo de $8$, tenemos que
\[A_{n+1}=5^{n+1}+2\cdot 3^n+1=5\cdot 5^n+6\cdot 3^{n-1}+1=5 A_n-4\cdot (3^{n-1}-1)\]
también es múltiplo de $8$ (ya que $A_n$ lo es por hipótesis de inducción y $4\cdot (3^{n-1}-1)$ lo es porque $3^{n-1}-1$ es par).
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Problema 1561problema obsoleto
Sabemos que $\mathbb{R}^3=\{(x_1,x_2,x_3):x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}\}$ es un espacio vectorial con las operaciones suma y producto por escalares:
\begin{align*}
(x_1,x_2,x_3)+(y_1,y_2,y_3)&=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3),\\
\lambda(x_1,x_2,x_3)&=(\lambda x_1,\lambda x_2,\lambda x_3).
\end{align*}
Consideremos el siguiente subconjunto de $\mathbb{R}^3$:
\[L=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3:x_1+x_2+x_3=0\}.\]
- Demostrar que $L$ es un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^3$.
- En $\mathbb{R}^3$ se define la relación binaria $x\sim y$ si y sólo si $x-y\in L$. Demostrar que se trata de una relación de equivalencia.
- Hallar dos vectores de $\mathbb{R}^3$ que pertenezcan a la misma clase de equivalencia respecto de $\sim$ que el vector $(-1,3,2)$.
pista
Sin soluciones
infoPista. Para el apartado (a), se debe comprobar que la suma de elementos de $L$ y el producto de un elemento de $L$ por un escalar, siguen siendo elementos de $L$. En el apartado (b), se debe comprobar que $\sim$ es reflexiva, transitiva y simétrica. En el apartado (c), observa que los elementos de la clase de equivalencia de un vector dado son los que se obtienen sumándole elementos de $L$.
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