Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
X Olimpiada Matemática Española (fase nacional) — 1973
Sesión 1
Problema 1558problema obsoleto
Dada la sucesión $\{a_n\}$ definida por
\[a_n=\tfrac{1}{4}n^4-10n^2(n-1),\qquad n\geq 0,\]
determinar el término menor de la sucesión.
pistasolución 1info
Pista. Estudia la monotonía del polinomio $f(x)=\frac{1}{4}x^4-10x^2(x-1)$.
Solución. Consideremos el polinomio $f(x)=\frac{1}{4}x^4-10x^3+10x^2$, que tiene derivada $f'(x)=x^3-30x^2+20x$. Esta derivada se anula en $x=0$ y en $x=15\pm\sqrt{205}$. Además, se cumple que $14\lt \sqrt{205}\lt 15$, luego se sigue fácilmente que $f(x)$ crece en $(0,15-\sqrt{205})\cup(15+\sqrt{205},+\infty)$ y decrece en $(-\infty,0)\cup(15-\sqrt{205},15+\sqrt{205})$. Por lo tanto, $a_{29}$ es menor que $a_1,a_2,\ldots,a_{28}$ y $a_{30}$ es menor que $a_{31},a_{32},\ldots$. De esta forma únicamente $n=0$, $n=29$ y $n=30$ son los candidatos a mínimo de la sucesión. Podemos evaluar fácilmente
\[a_0=0,\qquad a_{29}=-58659.8,\qquad a_{30}=-58500,\]
luego el mínimo absoluto de la sucesión es $a_{29}=-58659,\!8$.
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Problema 1562problema obsoleto
Determinar todas las soluciones reales del sistema
\[\left.\begin{array}{r}
2x-5y+11z-6=0\\
-x+3y-16z+8=0\\
4x-5y-83z+38=0\\
3x+11y-z+9\gt 0
\end{array}\right\}\]
en el que las tres primeras son ecuaciones y la última una inecuación.
pistasolución 1info
Pista. Las tres primeras ecuaciones determinan una recta en el espacio.
Solución. Consideremos las dos primeras ecuaciones y llamemos $z=t$. Entonces, tenemos un sistema de dos ecuaciones en las incógnitas $x$ e $y$ que se resuelve fácilmente:
\[\left.\begin{array}{r}2x-5y=6-11t\\x-3y=8-16t\end{array}\right\}\ \leadsto\ \left\{\begin{array}{l}x=-22+47t,\\y=-10+21t.\end{array}\right.\]
Por lo tanto, las soluciones de estas dos primeras ecuaciones vienen dadas por esta parametrización para $t\in\mathbb{R}$. Si sustituimos en la tercera ecuación obtenemos tras algunos cálculos tediosos $0=0$, luego la recta del espacio que determinan las dos primeras ecuaciones está contenida en el plano que determina la tercera. Si sustituimos en la inecuación, obtenemos
\[3x+11y-z+9\gt 0\ \Longleftrightarrow\ -167+361t\gt 0,\]
luego las soluciones al sistema son
\[(x,y,z)=(-22+47t,-10+21t,t),\qquad \text{para todo }t\gt\frac{167}{361}.\]
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Problema 1563problema obsoleto
Se considera en el plano complejo la sucesión $\{a_n\}$ definida por
\[a_0=1,\qquad a_n=a_{n-1}+\tfrac{1}{n}\bigl(\cos(45^\circ)+i\,\mathrm{sen}( 45^\circ)\bigr)^n.\]
Probar que la sucesión de las partes reales de los términos de $\{a_n\}$ es convergente y que su límite es un número real comprendido entre $0.85$ y $1.15$.
Sin pistas
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Problema 1564
Sean $C$ y $C'$ dos circunferencias concéntricas de radios $r$ y $r'$, respectivamente. Determinar cuánto ha de valer el cociente $r'/r$ para que en la corona limitada por $C$ y $C'$ existan ocho circunferencias $C_1,C_2,\ldots,C_8$ que sean tangentes a $C$ y $C'$ y también que cada $C_i$ sea tangente exterior a $C_{i+1}$ para $1\leq i\leq 7$ y $C_8$ sea tangente exterior a $C_1$.
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Sesión 2
Problema 1565problema obsoleto
Se considera el conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual que $4$ con coeficientes racionales.
- Probar que tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de los números racionales.
- Probar que los polinomios $1$, $x-2$, $(x-2)^2$, $(x-2)^3$ y $(x-2)^4$ forman una base de este espacio.
- Expresar el polinomio $7+2x-45x^2+3x^4$ en la base anterior.
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Problema 1566
Se considera un triángulo equilátero de altura $1$. Para todo punto $P$ del interior del triángulo, se designan por $x, y, z$ las distancias de $P$ a los lados del triángulo.
- Probar que $x+y+z=1$.
- Determinar los puntos $P$ para los que la distancia a un lado es mayor que la suma de las distancias a los otros dos.
- Tenemos una barra de longitud 1 y la rompemos en tres trozos. Hallar la probabilidad de que con estos trozos se pueda formar un triángulo.
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Problema 1567
En el plano se consideran los puntos $P=(8,2)$ y $Q=(5,11)$. Determinar el camino de longitud mínima para ir de $P$ a $Q$ con las siguientes condiciones: partiendo de $P$, llegamos a un punto del eje $x$ y recorremos un segmento de longitud $1$ a lo largo de este eje; después, nos separamos hasta llegar a un punto del eje $y$ y recorremos un segmento de longitud $2$ en este eje, para finalmente dirigirnos al punto $Q$. Hallar la longitud de dicho camino.
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Problema 1568problema obsoleto
En el espacio se designan por $u_1, u_2, u_3$ los tres vectores unitarios en la dirección positiva de los ejes $x,y,z$, respectivamente.
- Probar que el punto $P(t) = (1-t)u_1+(2-3t)u_2+(2t-1)u_3$, donde $t$ toma todos los valores reales, describe una recta (que designaremos por $L$).
- ¿Qué trayectoria describe el punto $Q(t)=(1-t^2)u_1+(2-3t^2)u_2+(2t^2-1)u_3$ si $t$ toma todos los valores reales?
- Hallar un vector paralelo a $L$.
- ¿Para qué valores de $t$ el punto $P(t)$ está sobre el plano $2x+3y+2z+1=0$?
- Hallar la ecuación cartesiana del plano paralelo al anterior y que contenga el punto $P(3)$.
- Hallar la ecuación cartesiana del plano perpendicular a $L$ que contenga el punto $P(2)$.
Sin pistas
Sin soluciones
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