Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas
Competiciones
| OME Local |
| OME Andaluza |
| OME Nacional |
| OIM |
| IMO |
| EGMO |
| USAMO |
| ASU |
| OMCC |
| Retos UJA |
Buscar problemas
La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
XI Olimpiada Matemática Española (fase nacional) — 1974
Sesión 1
Problema 371
Se sabe que un dodecaedro regular es un poliedro regular con 12 caras pentagonales iguales y concurriendo 3 aristas en cada vértice. Se pide calcular, razonadamente,
- el número de vértices;
- el número de aristas;
- el número de diagonales de todas las caras;
- el número de segmentos rectilíneos determinados por cada dos vértices;
- el número de diagonales del dodecaedro.
pistasolución 1info
Pista. Razona con cuidado intentando no contar un mismo elemento varias veces.
Solución. Las caras son 12 polígonos que tienen 5 lados cada uno (un total de $12\cdot 5=60$ lados). En esta suma de lados tenemos cada arista contada por duplicado, lo que hace un total de $30$ aristas. Como tres de ellas concurren en cada vértice y cada arista une dos vértices, tendremos un total de $2\cdot\frac{30}{3}=20$ vértices.
Cada cara tiene 5 diagonales, lo que hace un total de $5\cdot 12=60$ diagonales de todas las caras. Cada par de vértices determina un segmento, luego habrá $\binom{20}{2}=190$ segmentos determinados por cada dos vértices. Finalmente, el número de diagonales del dodecaedro será igual a este número de segmentos descontando las diagonales de las caras y las aristas del poliedro, es decir, $190-60-30=100$.
Nota. Podemos comprobar que se cumple la fórmula de Euler \[C-A+V=2,\] donde $C=12$, $A=30$ y $V=20$ son el número de caras, aristas y vértices, respectivamente.
Si crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1570
En un disco metálico se quita un sector circular de modo que con la parte restante se pueda formar un vaso cónico de volumen máximo. Calcular, en radianes, el ángulo del sector que se quita.
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1571problema obsoleto
Designaremos por $Z_{(5)}$ un cierto subconjunto del conjunto $\mathbb{Q}$ de los números racionales. Un racional pertenece a $Z_{(5)}$ si y solo si se puede escribir como una fracción en la que el denominador no sea múltiplo de $5$. Por ejemplo, $13/10$ no pertenece a $Z_{(5)}$, ya que los denominadores de todas las fracciones iguales a $13/10$ son múltiplos de $5$; en cambio, $75/10$ pertenece a $Z_{(5)}$ ya que $75/10=15/12$.
- ¿Qué estructura algebraica (semigrupo, grupo, etc.) tiene $Z_{(5)}$ respecto de la suma?
- ¿Y respecto del producto?
- ¿Es $Z_{(5)}$ un subanillo de $\mathbb{Q}$?
- ¿Es $Z_{(5)}$ un $Z_{(5)}$-espacio vectorial?
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1572
Los tres lados de un triángulo equilátero se suponen reflectantes (excepto en los vértices), de forma que reflejen hacia dentro del triángulo los rayos de luz situados en su plano, que incidan sobre ellos y que salgan de un punto interior del triángulo. Determinar el recorrido de un rayo de luz que, partiendo de un vértice del triángulo alcance a otro vértice del mismo después de reflejarse sucesivamente en los tres lados. Calcular la longitud del camino seguido por la luz suponiendo que el lado del triángulo mide $1$ m.
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Sesión 2
Problema 1573problema obsoleto
Sea $(G,\cdot)$ un grupo y $e$ su elemento neutro. Probar que si todos los elementos $x$ de $G$ cumplen que $x\cdot x=e$, entonces el grupo es abeliano (o sea, conmutativo).
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1574
En una circunferencia de radio igual a la unidad se trazan dos cuerdas $AB$ y $AC$ de igual longitud.
- Averiguar cómo se puede construir una tercera cuerda $DE$ que quede dividida en tres partes iguales por las intersecciones con $AB$ y $AC$.
- Si $AB=AC=\sqrt{2}$, ¿cuánto valen las longitudes de los dos segmentos que la cuerda $DE$ determina sobre $AB$?
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1575
Un depósito tiene forma de prisma hexagonal regular cuyas bases son de $1$ m de lado y su altura es de $10$ m. Se sitúan las aristas laterales en posición oblicua y se llena parcialmente con $9$ m$^3$ de agua. Sabiendo que el plano de la superficie libre del agua corta a todas las aristas laterales y que una de ellas queda con una parte de $2$ m bajo el agua. ¿Qué parte queda bajo el agua en la arista lateral opuesta del prisma?
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1576
Los lados de un polígono regular convexo de $L + M + N$ lados se han de dibujar en tres colores: $L$ de ellos con trazo rojo, $M$ con trazo amarillo y $N$ con trazo azul. Expresar, por medio de desigualdades, las condiciones necesarias y suficientes para que tenga solución (varias, en general) el problema de hacerlo sin que queden dos lados contiguos dibujados con el mismo color.
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
José Miguel Manzano © 2010-2025. Esta página ha sido creada mediante software libre