Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Podemos agrupar cada vector con el que resulta de cambiar todas sus componentes de signo, lo cual nos da suma $0$. Esto funciona salvo por el caso del vector $(-1,-1,\ldots,-1)$ que se ha quedado sin pareja al excluir el $(1,1,\ldots,1)$ explícitamente en el enunciado. Por lo tanto, la suma que nos piden es $-r$.

Solución. Para cada entero $0\leq k\leq r$ hay exactamente $\binom{r}{k}$ vectores con $k$ componentes iguales a $1$ y las otras $r-k$ iguales a $-1$. Por lo tanto, cada uno de tales vectores tendrá una suma $k-(r-k)=2k-r$ y la suma que nos piden es \[\sum_{k=0}^{r-1}(2k-r)\binom{r}{k}=2\sum_{k=0}^{r-1}k\binom{r}{k}-r\sum_{k=0}^{r-1}\binom{r}{k}=2\sum_{k=0}^{r-1}k\binom{r}{k}-r(2^r-1).\] Observemos que hemos tenido que eliminar el sumando $k=r$ ya que en el enunciado se nos pide excluir explícitamente el vector $(1,1,\ldots,1)$. También hemos usado que la suma de la fila $k$-ésima del triángulo de Pascal es igual a $2^r$. Ahora bien, para tratar la sumatoria que queda, escribamos \begin{align*} \sum_{k=0}^{r-1}k\binom{r}{k}&=\sum_{k=1}^{r-1}\frac{k\cdot r!}{k!(r-k)!}=\sum_{k=1}^{r-1}\frac{r!}{(k-1)!(r-k)!}=r\sum_{k=1}^{r-1}\frac{(r-1)!}{(k-1)!((r-1)-(k-1))!}\\ &=r\sum_{k=0}^{r-2}\frac{(r-1)!}{k!((r-1)-k)!}=r\sum_{k=0}^{r-2}\binom{r-1}{k}=r(2^{r-1}-1), \end{align*} ya que hemos tenido que excluir de nuevo el sumando $k=r-1$. Por lo tanto, volviendo al cálculo original, la solución al problema es \[\sum_{k=0}^{r-1}(2k-r)\binom{r}{k}=2r(2^{r-1}-1)-r(2^r-1)=-r.\]

Solución. Dividiendo los dos polinomios (o bien utilizando el método de Ruffini para evaluar en $n=-2$), obtenemos que \[\frac{n^5-5n^3+4n}{n+2}=n^4-2 n^3-n^2+2 n.\] Este último polinomio se puede factorizar en los enteros sacando factor común $n$ y utilizando de nuevo el método de Ruffini: \[\frac{n^5-5n^3+4n}{n+2}=(n-2)(n-1)n(n+1).\] Como es el producto de 4 enteros consecutivos, al menos dos de ellos serán pares, uno de los cuales ha de ser múltiplo de $4$, luego el resultado es múltiplo de $8$. Por el mismo motivo habrá al menos uno de ellos múltiplo de $3$, luego el resultado es múltiplo de $3\cdot 8=24$.

Nota. No podemos asegurar que haya un factor más grande ya que, para $n=3$ la expresión tiene un valor precisamente de $24$.

Solución. Supongamos que rompemos el diamante de peso $p$ en dos trozos de pesos $x$ e $y$, luego el precio original y el precio tras romperlo son proporcionales a $p^2=(x+y)^2$ y $x^2+y^2$, respectivamente. La depreciación guardará la misma proporción con $(x+y)^2-x^2-y^2=2xy$, luego nos estamos preguntando cuándo será máximo $2xy$ sujetos a la restricción $x+y=p$. De aquí podemos despejar $2xy=2x(p-x)$, con lo que queremos hallar el máximo de la función $f(x)=2x(p-x)$ cuando $0\leq x\leq p$. Esta parábola se anula en $x=0$ y $x=p$, por lo que tendrá su vértice (máximo) en $x=\frac{p}{2}$. Deducimos así que hay romper el diamante en dos partes iguales para que la depreciación sea máxima.