Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Dividiendo los dos polinomios (o bien utilizando el método de Ruffini para evaluar en $n=-2$), obtenemos que \[\frac{n^5-5n^3+4n}{n+2}=n^4-2 n^3-n^2+2 n.\] Este último polinomio se puede factorizar en los enteros sacando factor común $n$ y utilizando de nuevo el método de Ruffini: \[\frac{n^5-5n^3+4n}{n+2}=(n-2)(n-1)n(n+1).\] Como es el producto de 4 enteros consecutivos, al menos dos de ellos serán pares, uno de los cuales ha de ser múltiplo de $4$, luego el resultado es múltiplo de $8$. Por el mismo motivo habrá al menos uno de ellos múltiplo de $3$, luego el resultado es múltiplo de $3\cdot 8=24$.

Nota. No podemos asegurar que haya un factor más grande ya que, para $n=3$ la expresión tiene un valor precisamente de $24$.

Solución. Supongamos que rompemos el diamante de peso $p$ en dos trozos de pesos $x$ e $y$, luego el precio original y el precio tras romperlo son proporcionales a $p^2=(x+y)^2$ y $x^2+y^2$, respectivamente. La depreciación guardará la misma proporción con $(x+y)^2-x^2-y^2=2xy$, luego nos estamos preguntando cuándo será máximo $2xy$ sujetos a la restricción $x+y=p$. De aquí podemos despejar $2xy=2x(p-x)$, con lo que queremos hallar el máximo de la función $f(x)=2x(p-x)$ cuando $0\leq x\leq p$. Esta parábola se anula en $x=0$ y $x=p$, por lo que tendrá su vértice (máximo) en $x=\frac{p}{2}$. Deducimos así que hay romper el diamante en dos partes iguales para que la depreciación sea máxima.