Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas
Competiciones
| OME Local |
| OME Andaluza |
| OME Nacional |
| OIM |
| IMO |
| EGMO |
| USAMO |
| ASU |
| OMCC |
| Retos UJA |
Buscar problemas
La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
XIV Olimpiada Matemática Española (fase nacional) — 1977
Sesión 1
Problema 1592
Dado el determinante de orden $n$
\[\left|\begin{matrix}
8&3&3&\ldots&3\\
3&8&3&\ldots&3\\
3&3&8&\ldots&3\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
3&3&3&\ldots&8
\end{matrix}\right|,\]
calcular su valor y determinar para qué valores de $n$ dicho valor es múltiplo de $10$.
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1593
Demostrar que todas las matrices cuadradas de la forma
\[\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}\]
(siendo $a,b\in\mathbb{R}$) forman un cuerpo conmutativo $\mathbb{K}$ cuando se consideran las operaciones usuales de suma y producto de matrices. Probar también que, si $A\in\mathbb{K}$ es un elemento no nulo de dicho cuerpo, existen dos matrices de $\mathbb{K}$ tales que el cuadrado de cada una sea igual a $A$.
pista
Sin soluciones
infoPista. Observa que cuerpo en cuestión $\mathbb{K}$ es isomorfo al cuerpo de los números complejos sin más que realizar la identificación
\[\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}\ \longleftrightarrow\ a+ib.\]
Resuelve el problema en los complejos y trasládalo a $\mathbb{K}$.
Si crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1594
Demostrar que en una reunión de $285$ personas al menos una de ellas ha dado un número par de apretones de mano (cero se considera un número par y corresponde a una persona que no estrecha ninguna mano).
pistasolución 1info
Pista. ¿Cuántos apretones habría si todo el mundo le hubiera dado la mano a un número impar de personas?
Solución. Razonando por reducción al absurdo, si todo el mundo le hubiera dado la mano a un número impar de personas, el número total de apretones de manos sería la suma de 285 números impares, luego impar. Sin embargo este número debería ser par ya que cada vez que se dan las manos intervienen dos personas que se están sumando por separado.
Si crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1595
Demostrar que la suma de los cuadrados de cinco enteros consecutivos no puede ser un cuadrado perfecto.
pistasolución 1info
Pista. Trabaja módulo $5$.
Solución. Si escribimos los cinco enteros como $n-2,n-1,n,n+1,n+2$, obtenemos que
\[(n-2)^2+(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=5(n^2+2).\]
Por reducción al absurdo, supondremos que se trata de un cuadrado perfecto, pongamos $a^2$. Como $5(n^2+2)$ es múltiplo de $5$, también deber serlo $a^2$, luego podemos escribir $a=5b$ para cierto entero $b$, lo que nos da $n^2+2=5b^2$. El miembro de la derecha en esta última igualdad es múltiplo de $5$ pero el de la derecha es congruente con $2$, $3$ o $1$ módulo $5$ (puesto que el cuadrado $n^2$ sólo puede ser congruente con $0$, $1$ o $4$ módulo $5$). Así, $n^2+2$ nunca es múltiplo de $5$ y hemos llegado a la contradicción que buscábamos.
Si crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Sesión 2
Problema 1596
Utilizando una escalera mecánica para bajar a la estación del Metro y andando con paso regular, observo que necesito 50 escalones para bajar. Si luego vuelvo a subirla corriendo, a una velocidad $5$ veces mi paso normal anterior, compruebo que necesito $125$ escalones para llegar arriba. ¿Cuántos escalones visibles tiene la escalera mecánica cuando se encuentra parada?
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1597
Se considera un triángulo $ABC$. Sea $D$ el punto de corte de la bisectriz correspondiente al ángulo $A$ con el lado $BC$. Demostrar que la circunferencia que pasa por $A$ y es tangente a la recta $BC$ en $D$, también es tangente a la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$.
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1598
Dados números reales $a_1,a_2,\ldots,a_n$, demostrar sin utilizar derivadas, que el valor de $x$ que hace mínima la suma
\[(x-a_1)^2+(x-a_2)^2+\ldots+(x-a_n)^2\]
es precisamente la media aritmética de los números dados.
pista
Sin soluciones
infoPista. Expresa la función a minimizar como un polinomio de segundo grado.
Si crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1599
Determinar una condición necesaria y suficiente para que los afijos de tres números complejos $z_1,z_2,z_3$ sean los vértices de un triángulo equilátero.
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
José Miguel Manzano © 2010-2025. Esta página ha sido creada mediante software libre