Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Llamemos $D_n$ al determinante del enunciado. La suma de las filas desde la $2$ hasta la $n$ es $(3(n-1),3n+2,3n+2,\ldots,3n+2)$. Por lo tanto, si a la primera fila le restamos la suma del resto de filas multiplicadas por $\frac{3}{n+2}$ hacemos ceros en todos sus elementos menos en el primero, con lo que queda \begin{align*} D_n&=\left|\begin{matrix}8-\frac{9(n-1)}{3n+2}&3-\frac{3(3n+2)}{3n+2}&3-\frac{3(3n+2)}{3n+2}&\ldots&3-\frac{3(3n+2)}{3n+2}\\ 3&8&3&\cdots&3\\ 3&3&8&\cdots&3\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 3&3&3&\cdots&8\end{matrix}\right|\\ &=\left|\begin{matrix}\frac{5(3n+5)}{3n+2}&0&0&\ldots&0\\ 3&8&3&\cdots&3\\ 3&3&8&\cdots&3\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 3&3&3&\cdots&8\end{matrix}\right|=5\frac{3n+5}{3n+2}\cdot D_{n-1}, \end{align*} donde hemos desarrollado el determinante por la primera fila. Repitiendo el proceso hasta llegar a $D_1=8$, obtenemos \[D_n=5^{n-1}\frac{3n+5}{3n+2}\cdot\frac{3n+2}{3n-1}\cdot\frac{3n-1}{3n-4}\cdots\frac{14}{11}\cdot\frac{11}{8}\cdot 8=5^{n-1}(3n+5),\] donde hemos cancelado numeradores y denominadores.

Para que $D_n$ sea par, tiene que ser $3n+5$ par y $n\geq 2$, lo que equivale a que $n$ sea cualquier impar mayor que $1$.

Solución. Una forma estándar de resolver este problema es comprobar todos los axiomas de cuerpo conmutativo, pero hay una idea más rápida, que es identificar la matriz con un número complejo: \[\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}\equiv a+ib.\] La suma y el producto de matrices de este tipo no es más que la suma y producto de los correspondientes números complejos. Por lo tanto, se trata de un cuerpo conmutativo isomorfo a $\mathbb{C}$.

La respuesta a la última pregunta es también consecuencia del hecho bien conocido de que todo número complejo no nulo tiene exactamente dos raíces cuadradas (una opuesta de la otra).

Solución. Razonando por reducción al absurdo, si todo el mundo le hubiera dado la mano a un número impar de personas, el número total de apretones de manos sería la suma de 285 números impares, luego impar. Sin embargo este número debería ser par ya que cada vez que se dan las manos intervienen dos personas que se están sumando por separado.

Solución. Si escribimos los cinco enteros como $n-2,n-1,n,n+1,n+2$, obtenemos que \[(n-2)^2+(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=5(n^2+2).\] Por reducción al absurdo, supondremos que se trata de un cuadrado perfecto, pongamos $a^2$. Como $5(n^2+2)$ es múltiplo de $5$, también deber serlo $a^2$, luego podemos escribir $a=5b$ para cierto entero $b$, lo que nos da $n^2+2=5b^2$. El miembro de la derecha en esta última igualdad es múltiplo de $5$ pero el de la derecha es congruente con $2$, $3$ o $1$ módulo $5$ (puesto que el cuadrado $n^2$ sólo puede ser congruente con $0$, $1$ o $4$ módulo $5$). Así, $n^2+2$ nunca es múltiplo de $5$ y hemos llegado a la contradicción que buscábamos.

Solución. Si escribimos \[S=a_1+a_2+\ldots+a_n,\qquad C=a_1^2+a_2^+\ldots+a_n^2,\] entonces la expresión del enunciado no es otra cosa que \[nx^2-2Sx+C=n\left(x-\frac{S}{n}\right)^2+C-\frac{S^2}{n^2}\geq C-\frac{S^2}{n^2},\] ya que el cuadrado es mayor o igual que $0$. Por lo tanto, el valor mínimo se alcanzará cuando el cuadrado sea $0$, es decir, cuando $x=\frac{S}{n}$ sea la media aritmética de los números dados.

Solución. Supongamos que $z_1,z_2,z_3$ son distintos. Si tomamos uno de los puntos, pongamos $z_1$, tenemos que se forma un triángulo equilátero si y solo si $z_2-z_1$ y $z_3-z_1$ son números complejos que difieren en una rotación de $\pm\frac{\pi}{3}$, es decir, $(z_3-z_1)=\pm 1_{\pi/3}\cdot (z_2-z_1)$. Elevando al cubo, esto a su vez es equivalente a que $(z_3-z_1)^3=-(z_2-z_1)^3$. Observemos que esta última ecuación incluye una posibilidad más $(z_3-z_1)=-(z_2-z_1)$ que hay que desechar porque $z_1$ es el punto medio de $z_2$ y $z_3$). Esto último puede verse a partir de factorizar $(z_3-z_1)^3+(z_2-z_1)^3=0$ como suma de dos cubos: \[(2z_1-z_2-z_3)(z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1-z_1^2-z_2^2-z_3^2)=0.\] Por lo tanto, la condición sobre los números complejos que nos piden es que sean los tres distintos y que \[z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=z_1^2+z_2^2+z_3^2.\]

Nota. Este es un problema clásico de variable compleja, pero el enunciado no está claro.

Condiciones necesarias y suficientes pueden haber muchas; por ejemplo, decir directamente que $\frac{z_2-z_1}{z_3-z_1}=\pm 1_{\pi/3}$ o que $|z_1-z_2|=|z_2-z_3|=|z_3-z_1|$ también son una respuesta rigurosamente correctas.