Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Para cada número natural $n$, consideremos $a_n$ el número cuya expresión decimal está formada por $n$ sietes (es decir, $a_1=7$, $a_2=77$, $a_3=777$, etc.). Hallar el valor de la suma \[a_1+a_2+\ldots+a_n.\]

Un vaso de vidrio cilíndrico tiene $8$ cm de altura y su borde 12 cm de circunferencia. En su interior, a $3$ cm del borde, hay una diminuta gota de miel. En un punto de su superficie exterior, perteneciente al plano que pasa por el eje del cilindro y por la gota de miel, y situado a $1$ cm de la base (o fondo) del vaso, hay una mosca. ¿Cuál es el camino más corto que la mosca debe recorrer, andando sobre la superficie del vaso, hasta la gota de miel? ¿qué longitud tiene dicho camino?

Dadas dos rectas que se cruzan $r$ y $s$, se consideran las rectas $u$ y $v$ tales que $u$ es simétrica de $r$ respecto de $s$ y $v$ es simétrica de $s$ respecto de $r$. Determinar el ángulo que deben formar las rectas dadas para que $u$ y $v$ sean coplanarias.

Calcular la integral \[\int\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{sen}(x-1)\,\mathrm{sen}(x-2)}.\] Sugerencia: hacer el cambio de variable $\tan x=t$.

Dado un número natural no nulo $n$, consideremos la función $f_n:[0,1]\to\mathbb{R}$ definida así: \[f_n(x)=\begin{cases}n^2x&\text{si }0\leq x\lt\frac{1}{n},\\\frac{3}{n}&\text{si } \frac{1}{n}\leq x\leq 1.\end{cases}\]

1. Representar gráficamente la función.
2. Calcular $A_n=\int_0^1 f_n(x)\,\mathrm{d}x$.
3. Hallar, si existe, $\lim_{n\to\infty}A_n$.

Demostrar que la transformación producto de la simetría de centro $(0,0)$ por la simetría de eje la recta de ecuación $x=y+1$ puede expresarse como producto de una simetría de eje una recta $e$ por una traslación de vector $\vec{v}$ paralelo a $e$. Determinar una recta $e$ y un vector $\vec{v}$ que cumplan las condiciones indicadas. ¿Son únicos $e$ y $\vec{v}$?

En una fábrica de bolas de tenis hay 4 máquinas $m_1, m_2, m_3, m_4$, que producen, respectivamente, el $10\%$, el $20\%$, el $30\%$ y el $40\%$ de las bolas que salen de la fábrica. La máquina $m_1$ introduce defectos en un $1\%$ de las bolas que fabrica, la máquina $m_2$ en el $2\%$, la $m_3$ en el $4\%$ y la $m_4$ en el $15\%$. De las pelotas fabricadas en un día, se elige una al azar y resulta ser defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que esta bola haya sido elaborada por la máquina $m_3$?

Si $a$ es un entero impar, demostrar que \[a^4+4a^3+11a^2+6a+2\] es una suma de tres cuadrados y es divisible entre $4$.