Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Sean $a$ y $b$ el número de tebeos de Antonio y José, respectivamente. Sabemos entonces que $a=7x+4$ y $b=8y+4$ para ciertos enteros $x$ e $y$, luego $a+b=7x+8y+8=160$, lo que nos da la ecuación diofántica lineal $7x+8y=152$. Esta ecuación tiene solución puesto que $\mathrm{mcd}(7,8)=1$ divide a $152$. Además, es fácil encontrar enteros $u,v$ tales que $7u+8v=1$, por ejemplo $u=-1$ y $v=1$ (en general, se pueden encontrar utilizando el algoritmo extendido de Euclides). Por lo tanto, la solución general de la ecuación lineal es $x=-152+8k$ e $y=152-7k$ para todo $k\in\mathbb{Z}$.

Queda por ver qué soluciones no negativas tiene esta ecuación, esto es, debe cumplirse que $x=-152+8k\geq 0$ e $y=152-7k\geq 0$, lo que nos da $19\leq k\leq\frac{152}{7}=21.7$, luego tenemos tres soluciones:

• Si $k=19$, entonces $x=0$ e $y=19$, luego Antonio tiene $a=7x+4=4$ tebeos y José tiene $b=8y+4=156$ tebeos.
• Si $k=20$, entonces $x=8$ e $y=12$, luego Antonio tiene $a=7x+4=60$ tebeos y José tiene $b=8y+4=100$ tebeos, que es la solución indicada en el periódico.
• Si $k=21$, entonces $x=16$ e $y=5$, luego Antonio tiene $a=7x+4=116$ tebeos y José tiene $b=8y+4=44$ tebeos.

Deducimos así que el periódico no había contemplado todas las soluciones.

Solución. La función logaritmo $f(x)=\log(x)$ es cóncava, luego cumple que $af(u)+b(v)\leq f(au+bv)$ para cualesquiera $u,v,a,b\gt 0$ tales que $a+b=1$ (esta es la desigualdad de Jensen y viene del hecho de que el segmento que une los puntos $(u,f(u))$ y $(v,f(v))$ se queda por debajo de la gráfica $y=f(x)$). Podemos escribir entonces \[a\log(u)+b\log(v)\leq\log(au+bv),\] y tomando exponenciales en ambos miembros (la función exponencial es estrictamente creciente), llegamos a la desigualdad del enunciado.

Nota. Como $\log(x)$ es estrictamente convexa, la igualdad se alcanza si y sólo si $u=v$ o bien $a=0$ o $b=0$.