Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Mientras Teofrasto hablaba con Aristóteles sobre la clasificación de las plantas, tenía un perro atado a una columna cilíndrica perfectamente lisa de radio $r$, con una cuerda muy fina que envolvía la columna y con un lazo. El perro tenía el extremo libre de la cuerda cogido a su cuello. Al intentar alcanzar a Teofrasto, puso la cuerda tirante y esta se rompió. Determinar a qué distancia de la columna estaba el nudo en el momento de romperse la cuerda.

Construir un triángulo conociendo un ángulo, la razón de los lados que lo forman y el radio del círculo inscrito.

Una semicircunferencia de radio $r$ se divide en $n+1$ partes iguales y se calcula la media aritmética de las áreas de los $n$ triángulos que se forman al unir los puntos de la división con los extremos de la semicircunferencia (el diámetro es el tercer lado). Calcular el límite, cuando $n$ tiende a infinito, de dichas medias aritméticas.

Determinar el número de raíces reales de la ecuación \[16x^5-20x^3+5x+m=0\] en función del parámetro real $m$.

Hallar las coordenadas de los vértices de un cuadrado $ABCD$, sabiendo que $A$ está sobre la recta $y-2x-6=0$, $C$ en $x=0$ y $B$ es el punto $(a,0)$, siendo $a=\log_{2/3}(16/81)$.

En una cafetería, un vaso de limonada, tres bocadillos y siete bizcochos han costado 1 chelín y 2 peniques; y un vaso de limonada, cuatro bocadillos y diez bizcochos valen 1 chelín y 5 peniques. Hallar el precio de:

1. un vaso de limonada, un bocadillo y un bizcocho;
2. dos vasos de limonada, tres bocadillos y cinco bizcochos.

Nota. 1 chelín equivale a 12 peniques.

Un tetraedro regular de arista $30$ cm descansa sobre una de sus caras. Suponiéndolo hueco, se vierten 2 litros de agua en su interior. Se pide la altura que alcanza el líquido y el área de la superficie libre del agua.

En 1960, el mayor de tres hermanos tiene una edad que es la suma de las de sus hermanos más pequeños. Unos años después, la suma de las edades de dos de los hermanos es doble de la del otro. Ha pasado ahora un número de años desde 1960, que es igual a dos tercios de la suma de las edades que los tres hermanos tenían en ese año, y uno de ellos ha alcanzado los 21 años. ¿Cuál es la edad de cada uno de los otros dos?