Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Si llamamos $n$ al número en cuestión, la condición del enunciado nos dice que $n^2-n=n(n-1)$ debe ser múltiplo de $100000=2^5\cdot 5^5$. Como $n$ y $n-1$ son primos entre sí, uno de ellos debe ser múltiplo de $2^5=32$ y el otro un múltiplo (impar) de $5^5=3125$. Distingamos las dos posibilidades:

• Si $n=3125k$, entonces $n-1=3125k-1\equiv 0\ (\text{mod }32)$, lo cual equivale a que $21k\equiv 1\ (\text{mod }32)$. El inverso de $21$ módulo $32$ es $29$ (¿sabrías calcularlo?), luego tenemos que $k\equiv 29\ (\text{mod }32)$, es decir, $n=3125(32j+29)=100000j+90625$ para cierto entero $j$. Como $n$ debe tener cinco cifras, necesariamente $j=0$ y debe ser $n=90625$.
• Si $n-1=3125k$, entonces $n=3125k+1\equiv 0\ (\text{mod }32)$, luego $21k\equiv -1\ (\text{mod }32)$ y obtenemos $k\equiv -29\equiv 3\ (\text{mod }32)$. Esto nos dice que $n=3125(32j+3)+1=100000j+9376$ para cierto entero $j$, luego debe ser $j=0$ y $n=9376$.

Aunque lo anterior ya nos lo confirma, no está de más comprobar que tanto $n=90625$ como $n=09376$ cumplen la condición del enunciado, aunque habría que descartar el segundo si no lo admitimos como número de $5$ cifras.

Solución. Para probar el apartado (a) simplemente hay que darse cuenta de que \[\frac{x+y}{2}-\sqrt{xy}=\frac{x-2\sqrt{xy}+y}{2}=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{2}\geq 0.\] Es importante observar que, aunque el enunciado no lo especifica, el apartado (a) sólo se cumple cuando $x$ e $y$ son ambos mayores o iguales que cero.

En cuanto al apartado (b), tenemos que \[\frac{x^2+y^2}{2}-\left(\frac{x+y}{2}\right)^2=\frac{x^2+y^2}{2}-\frac{x^2+2xy+y^2}{4}=\frac{x^2-2xy+y^2}{4}=\frac{(x-y)^2}{4}\geq 0.\]

La desigualdad del apartado (b) para $x=p+\frac{1}{p}$ e $y=q+\frac{1}{q}$ nos dice que \begin{align*} \frac{(p+\frac{1}{p})^2+(q+\frac{1}{q})^2}{2}&\geq\frac{1}{4}\left(p+\frac{1}{p}+q+\frac{1}{q}\right)^2=\frac{1}{4}(p+q)^2\left(1+\frac{1}{pq}\right)^2\\ &\geq\frac{1}{4}(p+q)\left(1+\frac{4}{(p+q)^2}\right)^2=\frac{25}{4}.\end{align*} Hemos utilizado que, por el apartado (a), se cumple que $pq\leq\frac{(p+q)^2}{4}$ y que $p+q=1$.

Nota. La demostración del apartado (c) es un poco indirecta para forzar a usar (a) y (b), seguramente lo que se pretendía al proponer este problema. Una solución más directa es usar la desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática para obtener que \[\left(p+\frac{1}{p}\right)^2+\left(q+\frac{1}{q}\right)^2\geq\frac{1}{2}\left(p+\frac{1}{p}+q+\frac{1}{q}\right)^2.\] Usando que $p+q=1$ y que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\geq\frac{4}{p+q}=4$, por la desigualdad entre las medias aritmética y armónica, se sigue la desigualdad del enunciado.

Para que se alcance la igualdad, ha de cumplirse que $p=q=\frac{1}{2}$ (por la igualdad en la desigualdad entre la media aritmética y la media armónica) y se comprueba que, efectivamente, para estos valores se alcanza.

Solución. Multiplicando por $\operatorname{sin}\frac{x}{2^n}$ y usando reiteradamente la fórmula del seno del ángulo doble, obtenemos que \begin{align*} \cos\frac{x}{2}\cos\frac{x}{4}\cdots\cos\frac{x}{2^n}\operatorname{sen}\frac{x}{2^n}&=\frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}\cos\frac{x}{4}\cdots\cos\frac{x}{2^{n-1}}\operatorname{sen}\frac{x}{2^{n-1}}\\ &=\frac{1}{4}\cos\frac{x}{2}\cos\frac{x}{4}\cdots\cos\frac{x}{2^{n-2}}\operatorname{sen}\frac{x}{2^{n-2}}\\ &=\ldots=\frac{1}{2^n}\operatorname{sen} x. \end{align*} Por lo tanto, el límite del enunciado es igual a \[\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sen}x}{2^n\operatorname{sen}\frac{x}{2^n}}.\] Ahora bien, es bien conocido que $\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}=1$ (puede probarse fácilmente usando la regla de L'Hôpital), luego se tiene que $\lim_{t\to 0}\frac{\sin(xt)}{t}=x$. Ahora tomando $t=\frac{1}{2^n}$ se sigue que $\lim_{n\to\infty}2^n\operatorname{sen}\frac{x}{2^n}=x$. Esto nos dice que el límite del enunciado es \[\lim_{n\to\infty}\cos\frac{x}{2}\cos\frac{x}{4}\cdots\cos\frac{x}{2^n}=\frac{\operatorname{sen}x}{x}.\]

Solución. Dado un número entero $n$ mayor o igual que $11$, podemos escribirlo como $n=10^m a+b$, siendo $1\leq a\leq 9$ la cifra más significativa y $b$ el número formado por el resto de cifras (es decir, el número que resulta de eliminar esta primera cifra).

1. En el primer apartado nos piden encontrar el menor $n$ para el que $b=\frac{1}{5}(10^ma+b)$, es decir, $10^m a=4b$. Para $m=1$, la ecuación nos queda $5a=2b$ y el menor valor de $a$ que cumple esta condición es $a=2$, lo que nos da $b=5$, lo que nos da el número $n=25$. Para $m\geq 2$, claramente se obtiene valores de $n$ mayores (de al menos tres cifras). Por lo tanto, $n=25$ es la solución.
2. El segundo apartado se traduce en $b=\frac{1}{12}(10^ma+b)$, es decir, $10^m a=11b$. Claramente, $10^ma$ no es múltiplo de $11$, luego esta ecuación no tiene soluciones.
3. En el caso general nos queda $b=\frac{1}{k}(10^ma+b)$ o bien $(k-1)b=10^ma$. En particular, para cada elección de $k$ y de $a$ hay un único valor posible de $b$ tal que la cifra de las unidades no es cero (y el resto de valores de $b$ son los que se obtienen añadiendo ceros a la derecha).

Solución. Sea $d(x)$ el determinante en cuestión, que se trata claramente de un polinomio de grado $5$. Tras algunos cálculos tediosos, se verifica que \[d(1)=\left|\begin{matrix} 4&2&1&0\\ 6&3&0&2\\ 3&2&1&3\\ 2&1&2&3 \end{matrix}\right|=15,\qquad d(-1)=\left|\begin{matrix} -4&2&1&0\\ -4&3&0&2\\ 3&2&1&3\\ 0&1&2&3 \end{matrix}\right|=-69.\] Ahora bien, al hacer la división euclídea de $d(x)$ entre $x^2-1$ obtenemos un polinomio cociente $q(x)$ y otro polinomio resto $r(x)=ax+b$ tales que $d(x)=(x^2-1)q(x)+r(x)$. Haciendo $x=1$ obtenemos que $15=a+b$ y haciendo $x=-1$ obtenemos que $-69=-a+b$. Resolviendo este sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas, obtenemos que $a=42$ y $b=-27$. Por lo tanto, el resto que nos piden es $42x-27$.