Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Si llamamos $n$ al número en cuestión, la condición del enunciado nos dice que $n^2-n=n(n-1)$ debe ser múltiplo de $100000=2^5\cdot 5^5$. Como $n$ y $n-1$ son primos entre sí, uno de ellos debe ser múltiplo de $2^5=32$ y el otro un múltiplo (impar) de $5^5=3125$. Distingamos las dos posibilidades:

• Si $n=3125k$, entonces $n-1=3125k-1\equiv 0\ (\text{mod }32)$, lo cual equivale a que $21k\equiv 1\ (\text{mod }32)$. El inverso de $21$ módulo $32$ es $29$ (¿sabrías calcularlo?), luego tenemos que $k\equiv 29\ (\text{mod }32)$, es decir, $n=3125(32j+29)=100000j+90625$ para cierto entero $j$. Como $n$ debe tener cinco cifras, necesariamente $j=0$ y debe ser $n=90625$.
• Si $n-1=3125k$, entonces $n=3125k+1\equiv 0\ (\text{mod }32)$, luego $21k\equiv -1\ (\text{mod }32)$ y obtenemos $k\equiv -29\equiv 3\ (\text{mod }32)$. Esto nos dice que $n=3125(32j+3)+1=100000j+9376$ para cierto entero $j$, luego debe ser $j=0$ y $n=9376$.

Aunque lo anterior ya nos lo confirma, no está de más comprobar que tanto $n=90625$ como $n=09376$ cumplen la condición del enunciado, aunque habría que descartar el segundo si no lo admitimos como número de $5$ cifras.

Solución. Para probar el apartado (a) simplemente hay que darse cuenta de que \[\frac{x+y}{2}-\sqrt{xy}=\frac{x-2\sqrt{xy}+y}{2}=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{2}\geq 0.\] Es importante observar que, aunque el enunciado no lo especifica, el apartado (a) sólo se cumple cuando $x$ e $y$ son ambos mayores o iguales que cero.

En cuanto al apartado (b), tenemos que \[\frac{x^2+y^2}{2}-\left(\frac{x+y}{2}\right)^2=\frac{x^2+y^2}{2}-\frac{x^2+2xy+y^2}{4}=\frac{x^2-2xy+y^2}{4}=\frac{(x-y)^2}{4}\geq 0.\]

La desigualdad del apartado (b) para $x=p+\frac{1}{p}$ e $y=q+\frac{1}{q}$ nos dice que \begin{align*} \frac{(p+\frac{1}{p})^2+(q+\frac{1}{q})^2}{2}&\geq\frac{1}{4}\left(p+\frac{1}{p}+q+\frac{1}{q}\right)^2=\frac{1}{4}(p+q)^2\left(1+\frac{1}{pq}\right)^2\\ &\geq\frac{1}{4}(p+q)\left(1+\frac{4}{(p+q)^2}\right)^2=\frac{25}{4}.\end{align*} Hemos utilizado que, por el apartado (a), se cumple que $pq\leq\frac{(p+q)^2}{4}$ y que $p+q=1$.

Nota. La demostración del apartado (c) es un poco indirecta para forzar a usar (a) y (b), seguramente lo que se pretendía al proponer este problema. Una solución más directa es usar la desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática para obtener que \[\left(p+\frac{1}{p}\right)^2+\left(q+\frac{1}{q}\right)^2\geq\frac{1}{2}\left(p+\frac{1}{p}+q+\frac{1}{q}\right)^2.\] Usando que $p+q=1$ y que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\geq\frac{4}{p+q}=4$, por la desigualdad entre las medias aritmética y armónica, se sigue la desigualdad del enunciado.

Para que se alcance la igualdad, ha de cumplirse que $p=q=\frac{1}{2}$ (por la igualdad en la desigualdad entre la media aritmética y la media armónica) y se comprueba que, efectivamente, para estos valores se alcanza.