Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Como tenemos que $[\frac{3}{2}]=1$ y $\{\frac{3}{2}\}=\frac{1}{2}$, estamos buscando el conjunto de números reales tales que \[([x]-1)^2+(\{x\}-0.5)^2\lt \frac{202^2}{100^2}=4.0804.\] La parte entera de un número $x$ que cumpla esta desigualdad puede ser $-1$, $0$, $1$, $2$ o $3$ ya que , en caso de ser otro número, el sumando $([x]-1)^2$ sería mayor o igual que $49. Distingamos casos:

• Si $[x]=-1$, entonces la desigualdad nos queda $(\{x\}-0.5)^2\lt 0.0804$ o bien $|\{x\}-0.5|\lt \sqrt{0.0804}$. Esto nos da el intervalo de soluciones $(-0.5-\sqrt{0.0804},-0.5+\sqrt{0.0804})$.
• Si $[x]=0$, entonces la desigualdad nos queda $(\{x\}-0.5)^2\lt 3.0804$ o bien $|\{x\}-0.5|\lt \sqrt{3.0804}$. Como la parte decimal está entre $0$ y $1$, deducimos que todo el intervalo $[0,1)$ son soluciones de la desigualdad.
• Si $[x]=1$, entonces $\{x\}$ puede ser cualquier número entre $0$ y $1$ y la desigualdad es cierta. Esto nos da el intervalo de soluciones $[1,2)$.
• Si $[x]=2$, se razona de la misma manera que si $[x]=0$ por simetría y tenemos todo el intervalo de soluciones $[2,3)$.
• Si $[x]=3$, se razona de la misma manera que si $[x]=-1$ por simetría y tenemos el intervalo de soluciones $(-3.5-\sqrt{0.0804},-3.5+\sqrt{0.0804})$.

Con todo esto, el conjunto de puntos buscado es \[(-3.5-\sqrt{0.0804},-3.5+\sqrt{0.0804})\cup[0,3)\cup (-3.5-\sqrt{0.0804},-3.5+\sqrt{0.0804}).\]

Nota. Hemos usado decimales por comodidad pero todos los números decimales que aparecen son exactos, concretamente $0.0804=\frac{201}{2500}$ y $3.0804=\frac{7701}{2500}$.

Solución. Es fácil encontrar las soluciones $n=1$ y $n=3$, para las que obtenemos $8=2^3$ y $128=2^7$, mientras que $n=2$ no es solución ya que $5^2+3=28$ no es potencia de $2$. Supondremos que existe otra solución $5^n+3=2^k$ con $n\gt 3$ y $k\gt 7$ y llegaremos a una contradicción, lo que nos dirá que las anteriores son las dos únicas soluciones.

Restando $5^n+3=2^k$ y $5^3+3=2^7$, tenemos que $5^n-5^3=2^k-2^7$, que podemos factorizar como $125(5^{n-3}-1)=128(2^{k-7}-1)$. Como $125$ y $2^{k-7}-1$ son impares, se tendrá que $\nu_2(5^{n-3}-1)=7$, donde $\nu_2$ indica la valoración $2$-ádica (el exponente de $2$ en la factorización de $5^{n-3}-1$. Observamos también que $n$ debe ser impar ya que $\nu_2(5^{2r}+3)=2$ para todo entero positivo $r$, por ser $5^{2r}+3\equiv 4\pmod{8}$. Por tanto, si usamos el lema del levantamiento del exponente (LTE) para el exponente par $n-3$ y el primo $p=2$, obtenemos que \[7=\nu_2(5^{n-3}-1)=\nu_2(5-1)+\nu_2(5+1)+\nu_2(n-3)-1=2+\nu_2(n-3),\] luego ha de ser $\nu_2(n-3)=5$, es decir, $n=32j+3$ con $j$ impar. Poniendo $j=2h+1$ llegamos a que $n=64h+35$ para algún entero positivo $h$.

Trabajando módulo $17$, tenemos que $2^{16}\equiv 5^{16}\equiv 1\pmod{17}$ por el pequeño teorema de Fermat, luego \[5^{64h+35}\equiv (5^{16})^{4h+2}\cdot 5^3\equiv 125\equiv 6\pmod{17}.\] Por otro lado, $2^4\equiv 16\pmod{17}$ y $2^8=256\equiv 1\pmod{17}$, luego $2^k$ se repite cada ocho elementos módulo $17$. Tenemos que \begin{align*} 2^0&\equiv 1\pmod{17},&2^1&\equiv 2\pmod{17},&2^2&\equiv 4\pmod{17},&2^3&\equiv 8\pmod{17},\\ 2^4&\equiv 16\pmod{17},&2^5&\equiv 15\pmod{17},&2^6&\equiv 13\pmod{17},&2^7&\equiv 9\pmod{17}. \end{align*}

Como ninguno de estos residuos es igual a $6$, deducimos que $5^{64h+35}+3$ nunca es igual a una potencia de $2$ y hemos terminado.

Nota. Si se considera $n=0$ como número natural, habría que incluirlo como solución ya que en tal caso tenemos $5^0+3=2^2$, pero esto no afecta al resto del razonamiento.

Solución. La función $g(t)$ es convexa por tener segunda derivada positiva, luego la desigualdad de Jensen nos dice que \[g(\mu(a,b))=\frac{g(a)+g(b)}{2}\geq g\left(\tfrac{a+b}{2}\right)=g(m(a,b)).\] Como $g$ es estrictamente creciente por tener primera derivada positiva, su inversa $g^{-1}$ existe y es estrictamente creciente. Aplicando dicha inversa a ambos lados de la desigualdad anterior, obtenemos que $\mu(a,b)\geq m(a,b)$ para cualesquiera $a$ y $b$.

Nota. En realidad, no es necesario que $a$ y $b$ sean positivos para que se cumpla la desigualdad $\mu(a,b)\geq m(a,b)$. Observemos además que la igualdad $\mu(a,b)= m(a,b)$ se alcanza únicamente cuando $a=b$ ya que $g$ es estrictamente convexa.

Solución. Consideremos el polinomio $z^{30}-1$, cuyas raíces son las raíces $30$-ésimas de la unidad, es decir, $z_k=\cos\frac{2k\pi}{30}+i\operatorname{sen}\frac{2k\pi}{30}$ para $0\leq k\leq 29$ entero. Separando las raíces reales $z_0=1$ y $z_{15}=-1$ y agrupando las restantes en pares de raíces conjugadas, obtenemos que \begin{align*} z^{30}-1&=(z-1)(z+1)\prod_{k=1}^{14}(z-\cos\tfrac{k\pi}{15}-i\operatorname{sen}\tfrac{k\pi}{15})(z-\cos\tfrac{k\pi}{30}+i\operatorname{sen}\tfrac{k\pi}{15})\\ &=(z^2-1)\prod_{k=1}^{14}(z^2-2z\cos\tfrac{k\pi}{15}+1). \end{align*} Evaluando la igualdad anterior en $z=i$, obtenemos que \[-1-1=(-1-1)\prod_{k=1}^{14}(-1-2i\cos\tfrac{k\pi}{15}+1)\ \Rightarrow\ 1=-2^{14}\prod_{k=1}^{14}\cos\tfrac{k\pi}{15}.\] Deducimos así que el producto del enunciado es igual a $-2^{-14}$.