Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. La desigualdad de Jensen con pesos $x,y\geq 0$ tales que $x+y=1$, nos dice que si $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es una función estrictamente convexa, entonces \[f(ax+by)\leq xf(a)+yf(b).\] ya que, en el intervalo $[a,b]$, la gráfica de la función se queda por debajo del segmento de recta que une los puntos $(a,f(a)$ y $(b,f(b))$. Ahora bien, fuera del intervalo $[a,b]$, la gráfica se queda por encima de la recta, lo que nos dice que, para $x,y\in\mathbb{R}$ tales que $x+y=1$, si uno de estos dos números es negativo, se cumple la desigualdad contraria: \[f(ax+by)\gt xf(a)+yf(b).\] Por ser un poco más explícitos en este punto, basta mirar la figura y tener en cuenta que:

• Si $x+y=1$ y $a\lt b$, entonces el número $ax+by$ está entre $a$ y $b$ para $x,y\geq 0$, a la derecha de $b$ para $x\lt 0$ y a la izquierda de $a$ para $y\lt 0$.
• $f(ax+by)$ es el valor de la función en $ax+by$.
• $xf(a)+yf(b)$ es el valor de la recta en $ax+by$.

Aplicando este razonamiento a las funciones $f(t)=t^2$ y $f(t)=t^4$, que son ambas estrictamente convexas, deducimos que el conjunto de soluciones son los puntos $(x,y)$ que cumplen $x,y\geq 0$ y $x+y=1$. En otras palabras, son los puntos del segmento que une $(1,0)$ y $(0,1)$ en el plano.