Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz a los vectores \begin{align*} u&=\left(\binom{n}{1}^{1/2},\binom{n}{2}^{1/2},\ldots,\binom{n}{n}^{1/2}\right),\\ v&=(1,2,\ldots,n), \end{align*} tenemos que \begin{align*} 1\cdot\sqrt{\binom{n}{1}}+2\cdot\sqrt{\binom{n}{2}}+\ldots+n\cdot\sqrt{\binom{n}{n}}&\leq\sqrt{\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\ldots+\binom{n}{n}}\sqrt{1^2+2^2+\ldots+n^2}\\ &=\sqrt{2^n-1}\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\\ &\lt\sqrt{2^n}\sqrt{\frac{2n^3}{6}}\lt \sqrt{2^n}\sqrt{\frac{n^3}{2}}=\sqrt{2^{n-1}n^3}, \end{align*} donde hemos usado la fórmula para la suma de los $n$ primeros cuadrados y también que los elementos de la fila $n$-ésima del triángulo de Tartaglia suman $2^n$.

Nota. La desigualdad de Cauchy-Schwarz sobre dos vectores $u,v\in\mathbb{R}^n$ nos dice que \[|u_1v_1+u_2v_2+\ldots+u_nv_n|\leq (u_1^2+u_2^2+\ldots+u_n^2)^{1/2}(v_1^2+v_2^2+\ldots+v_n^2)^{1/2}\] y la igualdad se alcanza si y sólo si los vectores son proporcionales.

Solución. La desigualdad de Jensen con pesos $x,y\geq 0$ tales que $x+y=1$, nos dice que si $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es una función estrictamente convexa, entonces \[f(ax+by)\leq xf(a)+yf(b).\] ya que, en el intervalo $[a,b]$, la gráfica de la función se queda por debajo del segmento de recta que une los puntos $(a,f(a)$ y $(b,f(b))$. Ahora bien, fuera del intervalo $[a,b]$, la gráfica se queda por encima de la recta, lo que nos dice que, para $x,y\in\mathbb{R}$ tales que $x+y=1$, si uno de estos dos números es negativo, se cumple la desigualdad contraria: \[f(ax+by)\gt xf(a)+yf(b).\] Por ser un poco más explícitos en este punto, basta mirar la figura y tener en cuenta que:

• Si $x+y=1$ y $a\lt b$, entonces el número $ax+by$ está entre $a$ y $b$ para $x,y\geq 0$, a la derecha de $b$ para $x\lt 0$ y a la izquierda de $a$ para $y\lt 0$.
• $f(ax+by)$ es el valor de la función en $ax+by$.
• $xf(a)+yf(b)$ es el valor de la recta en $ax+by$.

Aplicando este razonamiento a las funciones $f(t)=t^2$ y $f(t)=t^4$, que son ambas estrictamente convexas, deducimos que el conjunto de soluciones son los puntos $(x,y)$ que cumplen $x,y\geq 0$ y $x+y=1$. En otras palabras, son los puntos del segmento que une $(1,0)$ y $(0,1)$ en el plano.