Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
XXIV Olimpiada Matemática Española (fase nacional) — 1988
Sesión 1
Problema 455
Sea $\{x_n\}$ una sucesión estrictamente creciente de enteros tales que $x_1=1$ y $x_{n+1}\leq 2n$ para todo $n\in\mathbb{N}$. Demostrar que para todo entero positivo $k$ existen dos términos de la sucesión $x_r$ y $x_s$ tales que $x_r-x_s=k$.
pistasolución 1info
Pista. Utiliza el principio del palomar.
Solución. Fijado $k\in\mathbb{N}$, tenemos que $1=x_1\lt x_2\lt\ldots\lt x_{k+1}\leq 2k$. Por tanto, $x_1,x_2,\ldots x_{k+1}$ son $k+1$ elementos distintos de $[1,2k]\cap\Z$. Como este conjunto se descompone como unión de los $k$ subconjuntos $\{1,k+1\},\{2,k+2\},\ldots,\{k,2k\}$, el principio del palomar nos dice que uno de estos subconjuntos debe contener a dos de los números $x_1,x_2,\ldots x_{k+1}$. Estos dos elementos de la sucesión se diferencian en $k$ unidades y hemos terminado.
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Problema 1661
Sobre una circunferencia se eligen $n\gt 3$ puntos y se numeran del $1$ al $n$ en cualquier orden (sin repetir números). Diremos que dos puntos no consecutivos $a$ y $b$ están relacionados si en uno de los dos arcos de extremos $a$ y $b$, todos los puntos están marcados con números menores que las marcas de $a$ y $b$. Demostrar que el número de pares de puntos relacionados es exactamente $n-3$.
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Problema 279
Demostrar que los binomios $25x+31y$ y $3x+7y$ son múltiplos de 41 para los mismos valores enteros de $x$ e $y$.
pistasolución 1info
Pista. Observa que $3(25x+31y)-25(3x+7y)$ siempre es múltiplo de 41.
Solución. Consideremos la siguiente identidad
\[3(25x+31y)-25(3x+7y)=-82y,\]
que se obtiene al eliminar $x$ mediante una combinación de los dos binomios. Observemos que $-82y$ es múltiplo de 41, luego tenemos dos implicaciones:
- Si $25x+31y$ es múltiplo de 41 también lo será $25(3x+7y)$ y, como $25$ y $41$ son primos entre sí, también lo será $3x+7y$.
- Si $3x+7y$ es múltiplo de 41, también lo será $3(25x+31y)$ y, como $3$ y $41$ son primos entre sí, también lo será $25x+31y$.
Nota. También se podría haber eliminado $y$ obteniendo la igualdad \[7(25x+31y)-31(3x+7y)=82x,\] y el razonamiento a partir de aquí es similar.
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Sesión 2
Problema 1662
Se atribuye al matemático renacentista Leonardo da Pisa (más conocido como Fibonacci) la sucesión definida de la manera siguiente:
\[a_1=1,\qquad a_2=1,\qquad a_i=a_{i-1}+a_{i-2}\quad\text{para todo } i\gt2.\]
Expresar $a_{2n}$ en función solamente de los tres términos $a_{n-1}$, $a_n$ y $a_{n+1}$.
Sin pistas
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Problema 1663
Es muy conocido el puzzle consistente en descomponer la cruz griega de la
izquierda de la figura en cuatro partes con las que se pueda componer un cuadrado. Una solución habitual es la de la figura de la derecha. Demostrar que hay una infinidad de soluciones diferentes. ¿Hay alguna solución que dé lugar a cuatro partes iguales?
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Problema 1664
Calcular, para cualquier valor del parámetro entero $t$, soluciones enteras $x$ e $y$ de la ecuación
\[y^2=x^4-22x^3+43x^2+858x+t^2+10452(t+39).\]
Sin pistas
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