Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Para $n=1$, tenemos que $1989=9\cdot 221= 3^2(10^2+11^2)=3^2(5^2+14^2)$. Para $n=2$, tenemos que \[1989^2=9^2\cdot 221^2= 9^2\cdot 48841=9^2(85^2+204^2)=9^2(104^2+195^2).\] De aquí el resultado es inmediato ya que basta multiplicar uno de estos dos números por el cuadrado perfecto $1989^{2n}=(1989^n)^2$ para obtener cualquier potencia de $1989$. Obviamente, los dos resultados obtenidos de las descomposiciones anteriores son distintos.

Solución. El truco de este problema es en darse cuenta de que la expresión $(a-b)/(1+ab)$ es parecida a la de la tangente de la diferencia de dos ángulos. Si escribimos cada uno de los siete números iniciales como la tangente de un número en el intervalo $(-90,90)$, el problema equivale al siguiente: dados siete números en el intervalo $(-90,90)$, demostrar que siempre existen dos de ellos, $x$ e $y$, tales que $|\tan(x-y)|\lt \sqrt{3}/{3}$, es decir, $|x-y|\lt 30$. Dividiendo en seis subintervalos \[(-90,90)=(-90,-60]\cup(-60,-30]\cup(-30,0]\cup(0,30]\cup(30,60]\cup(60,-60),\] el principio del palomar nos asegura que al menos uno de ellos contendrá a dos de los siete números considerados y esos dos números verificarán la desigualdad $|x-y|\lt 30$.

Esto nos da también la pista sobre cómo definir seis números que no cumplan la propiedad ya que solo hay que tomar los puntos medios de los subintervalos anteriores (que distan exactamente $30$) y considerar sus tangentes. En definitiva, los seis números reales \begin{align*} &-\tan(75),&&-\tan(45),&&-\tan(15),\\ &\tan(15),&&\tan(45),&&\tan(75), \end{align*} no cumplen la propiedad del enunciado.