Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Supongamos por reducción al absurdo que existen un par de segmentos con esta propiedad en el plano. Podemos trasladarlos de forma que el origen sea extremo de ambos ya que se trataría de traslaciones de vector de coordenadas enteras y no varía que los extremos tienen coordenadas enteras ni la longitud ni el ángulo que forman. Pongamos que los nuevos extremos (distintos del origen) son $(a,b)$ y $(c,d)$, luego tendrían un ángulo de $45^\circ$ si y solo si \[\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos(45^\circ)=\frac{ac+bd}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}.\] El miembro de la izquierda es irracional pero el de la derecha no (puesto que $\sqrt{a^2+b^2}$ y $\sqrt{c^2+d^2}$ son las longitudes de los segmentos y, por tanto, enteros). Exactamente el mismo razonamiento funciona en el espacio y nos da una respuesta también negativa.

Solución. Las filas a partir de la tercera se pueden escribir como combinación lineal de las dos primeras. Esto equivale a que, para cada $i\geq 3$, existan $\lambda_i,\mu_i\in\mathbb{R}$ tales que \[a^i+b^j=\lambda_i(a+b^j)+\mu_i(a^2+b^j)\ \Leftrightarrow\ (\lambda_i+\mu_i-1)b^j+a(\lambda_i+a\mu_i-a^i)=0.\] Podemos tomar $\mu_i=1-\lambda_i$ para anular el primer paréntesis y luego el segundo nos queda $\lambda_i+a(1-\lambda_i)=a^i$, de donde despejamos (ya que $a\neq 1$): \[\lambda_i=a\frac{a^{i-1}-1}{1-a},\qquad \mu_i=1-\lambda_i=\frac{1-a^i}{1-a}.\] Como $\frac{1-a^k}{1-a}=1+a+\ldots+a^{k-1}$ para todo $k\geq 1$, resulta que tanto $\lambda_i$ como $\mu_i$ son números enteros y tenemos que la respuesta al enunciado es como máximo $2$. Para ver que la solución realmente es $2$, comprobamos que las dos primeras filas son linealmente independientes (tienen rango 2), lo que se deduce del menor \begin{align*} \left|\begin{matrix}a+b&a+b^2\\a^2+b&a^2+b^2\end{matrix}\right|&=(a+b)(a^2+b^2)-(a+b^2)(a^2+b)\\ &=ab(a+b-1-ab)=-ab(a-1)(b-1)\neq 0 \end{align*} ya que $a$ y $b$ no toman los valores $0$ ni $1$.

Solución. Sean $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}$ las raíces de la ecuación. Para que sean las longitudes de los lados de un triángulo, la suma de dos de ellas debe ser mayor que la tercera, lo que nos da la relación \[(\alpha+\beta-\gamma)(\beta+\gamma-\alpha)(\gamma+\alpha-\beta)\gt 0.\qquad (\star)\] Observamos además que si se cumple esto no pueden ser dos sumandos negativos y otro positivo ya que, si $\alpha+\beta\lt \gamma$ y $\beta+\gamma\lt\alpha$, entonces sumamos ambas desigualdades y llegamos a que $2\beta\lt 0$, pero estamos suponiendo que las tres raíces son positivas.

Ahora bien, si desarrollamos la igualdad \[x^3+px^2+qx+r=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma),\] obtenemos rápidamente las ecuaciones de Cardano-Vièta identificando coeficientes: \[\alpha+\beta+\gamma=-p,\qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=q,\qquad \alpha\beta\gamma=-r.\] Por lo tanto, la desigualdad $(\star)$ se puede reescribir como \begin{align*} 0&\lt (-p-2\alpha)(-p-2\beta)(-p-2\gamma)\\ &=-p^3-2(\alpha+\beta+\gamma)p^2-4(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)p-8\alpha\beta\gamma\\ &=-p^3+2p^3-4qp+8r=p^3-4qp+8r. \end{align*} Deducimos así que la relación que nos piden es $4pq\lt p^3+8r$.

Solución. Por comodidad, llamaremos $\alpha,\beta,\gamma$ a los ángulos del triángulo, como es usual. El triángulo $BAC'$ es isósceles, luego $\angle DC'A=180^\circ-\angle BC'A'=180^\circ-\frac{1}{2}(180^\circ-\beta)=90^\circ+\beta$. Por lo tanto, en el triángulo $AC'D$, tenemos que $\angle C'DA=180^\circ-\angle DC'A-\frac{\alpha}{2}=90-\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{\gamma}{2}$. Ahora bien, como $AD$ es la bisectriz y contiene al incentro $I$, deducimos que $\angle A'DI=\angle\frac{\gamma}{2}=\angle ICA'$. Por la propiedad del arco capaz, esto nos dice que $ICDA'$ es un cuadrilátero cíclico y, por tanto, \[\angle ADC=\angle IDC=\angle IA'C=90^\circ.\]

Solución. Los números del $0$ al $2^k-1$ son los números que tienen $k$ o menos cifras en binario, lo que equivale a una sucesión de $k$ dígitos $0$ o $1$ si permitimos ceros a la izquierda. Queremos ver cuántos unos hay de entre todas esas sucesiones, para lo que haremos el siguiente truco: en total hay $k\cdot 2^k$ dígitos entre todas las sucesiones y, como el cero y el uno ocurren el mismo número de veces, habrá $k\cdot 2^{k-1}$ ceros y $k\cdot 2^{k-1}$ unos. En otras palabras, hemos visto que $s(0)+s(1)+\ldots+s(2^k-1)=k\cdot 2^{k-1}$. Si tenemos en cuenta que $s(0)=0$ y $s(2^k)=1$, obtenemos que $\sigma(k)=k\cdot 2^{k-1}+1$.

Solución. Utilizando la desigualdad entre las medias aritmética y armónica, tenemos que \[\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\gt\frac{4}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=4(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}).\] Sumando estas desigualdades para $n$ desde $1$ a $9999$, en el miembro de la derecha los términos se cancelan dos a dos menos el primero y el último, y tenemos que \[2S-1-\frac{1}{100}\gt 400-4\ \Leftrightarrow\ S\gt 198.505.\] Consideremos ahora las desigualdades \[\frac{1}{\sqrt{n+1}}=\frac{2}{2\sqrt{n+1}}\lt \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\] y las sumamos para $n$ desde $1$ hasta $9999$, con lo que obtenemos \[S-1\lt 200-2\ \Leftrightarrow\ S\lt 199.\] Por lo tanto, deducimos que que la parte entera de $S$ es $198$.

Nota. El valor exacto de $S$ con tres cifras decimales es $198.545$.

Solución. Consideremos la función $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$, que es decreciente para $x\gt 0$. El área bajo la curva $y=f(x)$ en el intervalo $[1,10000]$ se puede acotar superiormente por la suma de las áreas de los rectángulos de base el intervalo $[n,n+1]$ y altura $f(n)$ e inferiormente por la suma de las áreas de los rectángulos de base $[n,n+1]$ y altura $f(n+1)$ para $n$ entre $1$ y $9999$. Por lo tanto, tenemos que \[S-1\lt \int_1^{10000}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}}\lt S-\frac{1}{100}.\qquad(\star)\] Las desigualdades son estrictas ya que $f(x)$ es estrictamente decreciente. Ahora calculamos la integral inmediata \[\int_1^{10000}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}}=\left[2\sqrt{x}\right]_1^{10000}=200-2=198.\] Ahora las desigualdades marcadas con $(\star)$ nos dicen que $198\lt S\lt 199$, de donde deducimos que la parte entera de $S$ es $198$.