Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Haciendo \(x=y=0\), obtenemos que \(P(0)=P(0)^2\), de donde \(P(0)=1\) o bien \(P(0)=0\). Si \(P(0)=1\), haciendo \(x=y\) en la ecuación original, \(P(2y)=1\) para todo \(y\in\mathbb{R}\), de donde \(P(x)\) es el polinomio constante \(1\).

Si \(P(0)=0\), entonces cero es una raíz de \(P(x)\) y podemos expresar \(P(x)=x^kQ(x)\) para cierto \(k\in\mathbb{N}\) (la multiplicidad de dicha raíz) y cierto polinomio \(Q(x)\) con \(Q(x)\neq 0\). Sustituyendo esta igualdad en la ecuación del enunciado y simplificando, obtenemos que \(Q(x)\) satisface la misma ecuación que \(P(x)\) y, además, \(Q(0)\neq 0\). Por lo que hemos visto en el párrafo anterior, \(Q(x)\) tiene que ser constante \(1\) luego \(P(x)\) es una potencia de \(x\). Deducimos que los polinomios buscados son \(P(x)=1\) y \(P(x)=x^k\) para \(k\in\mathbb{N}\), los cuales cumplen la ecuación como puede comprobarse.

Solución. En primer lugar, el hecho de saber que $g(n)$ se define sobre los números pares e impares nos hace pensar en utilizar la base $2$ para expresar la función. Calculando unos cuantos términos $g(n)$ y expresando $n$ en base $2$, parece que $g(n)$ es la suma de las cifras de $n$ en base $2$ y esto será lo que probemos por inducción completa.

Está claro que, para $n=1$ ó $n=2$, $g(1)=g(2)=1$, con lo cual se cumple el caso base. Dado $n\in\mathbb{N}$, supongamos ahora que $g(j)$ es la suma de los dígitos de $j$ para $1\leq j\lt n$ y probémoslo para $n$. Tendremos que distinguir casos dependiendo de si $n$ es par o impar:

• Si $n$ es par, entonces $n=2j$ para algún $j$, luego $g(n)=g(2j)=g(j)$. Ahora bien, los dígitos de $n$ en base $2$ son los de $j$ a los que se ha añadido un cero al final, luego $g(n)$ también es la suma de los dígitos de $n$ en base $2$.
• Si $n$ es impar, entonces $n=2j+1$ para algún $j$, luego $g(n)=g(2j+1)=g(2j)+1=g(j)+1$. Como los dígitos de $n$ en base $2$ son los de $j$ a los que se ha añadido un uno al final, tendremos que $g(n)$ es la suma de los dígitos de $n$ en base $2$.

Visto esto, el problema se reduce a saber cuál es el número $n\leq 2002$ con mayor suma de dígitos en base $2$ o, equivalentemente, con mayor número de unos en base $2$. El primer número que tiene $k$ unos en base $2$ es $2^k-1$. Como $2^{10}-1=1023\lt 2002$ y $2^{11}-1=2047\gt 2002$, deducimos que $M=10$.

Falta por ver cuántos números $n\leq 2002$ tienen exactamente $10$ unos en base $2$. No obstante, como dichos números tienen a lo sumo $11$ cifras, los posibles candidatos son los que tienen exactamente un cero, que son los de la forma $2^{11}-2^{i}-1$ para $0\leq i\leq 10$.

• Para $i\leq 5$ tenemos que $2^{11}-2^{i}-1\geq 2^{11}-2^5-1=2015$.
• Para $i\geq 6$ tenemos que $2^{11}-2^{i}-1\leq 2^{11}-2^6-1=1983$.

Por tanto, los números buscados son los que se obtienen para $6\leq i\leq 10$ y, deducimos que hay exactamente cinco números que alcanzan el máximo.

Solución. Sean $a,b,c$ las cifras de las centenas, decenas y unidades del número $n$, respectivamente. Por lo tanto, podemos escribir \[\left\{\ \begin{array}{l} n=100a+10b+c\\ m=100c+10b+a\\ S=a+b+c \end{array}\right.\] De esta forma, podemos escribir la condición que nos dan como \[0=n-2m-S=97a-11b-200c.\] Si miramos esta ecuación módulo $2$, $9$ y $11$, obtenemos \begin{align*} 0&=97a-11b-200c\equiv a-b\ (\text{mod }2),\\ 0&=97a-11b-200c\equiv 2(a+b+c)\ (\text{mod }9),\\ 0&=97a-11b-200c\equiv -2(a+c)\ (\text{mod }11).& \end{align*} Deducimos que $a$ y $b$ tienen la misma paridad, que $a+b+c$ es múltiplo de $9$ y que $a+c$ es múltiplo de $11$. Como $1\leq a\leq 9$ y $0\leq c\leq 9$, esta última condición nos dice que $a+c=11$ y tenemos solo 8 posibilidades para el par $(a,c)$. Por otro lado, $11+b=a+b+c\equiv 0\ (\text{mod }9)$, nos da necesariamente $b=7$, lo que nos dice que $a$ es impar. Hemos reducido los casos posibles a los siguientes:

• Si $(a,c)=(3,8)$, entonces $n=378$ y $97a-11b-200c=-1386$.
• Si $(a,c)=(5,6)$, entonces $n=576$ y $97a-11b-200c=-792$.
• Si $(a,c)=(7,4)$, entonces $n=774$ y $97a-11b-200c=-198$.
• Si $(a,c)=(9,2)$, entonces $n=972$ y $97a-11b-200c=396$.

En ninguno de los cuatro casos se obtiene $97a-11b-200c=0$, luego no existen números $n$ que cumplan la condición propuesta.