Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Pongamos que los números son $n-15,n-13,\ldots,n-1,n+1,\ldots,n+15$ para $n$ par, de forma que al sumarlos obtenemos $16n$. Para que la sucesión esté formada únicamente por números de tres cifras debe cumplirse que $n-15\geq 100$ y $n+15\leq 999$, lo que nos da $115\leq n\leq 984$. Ahora bien, tiene que ser $16n=a^3$ para cierto $a$, luego $a$ es múltiplo de $4$ y podemos escribir $a=4b$ y $n=4b^3$ para cierto entero $b$ (luego $n$ es automáticamente par). Esto nos lleva a la desigualdad $115\leq 4b^3\leq 984$ o, equivalentemente, $28,\!75\leq b^3\leq 246$. Los únicos cubos perfectos en este intervalo son $4^3=64$, $5^3=125$ y $6^3=216$, luego solo hay tres posibles valores de $b$ y, en consecuencia, hay exactamente tres sucesiones pucelanas.

Solución. Escribamos $n$ en base $3$ con dígitos $a_k,a_{k-1},\ldots,a_2,a_1,a_0\in\{0,1,2\}$, siendo $a_0$ el de orden menor. Esto quiere decir que \[n=3^ka_k+3^{k-1}a_{k-1}+\ldots+3^2a_2+3a_1+a_0.\] Es inmediato entonces ver que \[\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor=3^{k-1}a_k+3^{k-2}a_{k-1}+\ldots+3a_2+a_1,\qquad 3\left\{\frac{n}{3}\right\}=a_0.\] Por tanto, cada vez que aplicamos $f$ eliminamos el dígito de la izquierda y sale sumando o restando dependiendo de en qué posición esté: \begin{align*} f(n)&=-f(3^{k-1}a_k+3^{k-2}a_{k-1}+\ldots+3a_2+a_1)-a_0\\ &=f(3^{k-2}a_k+3^{k-3}a_{k-1}+\ldots+a_2)+a_1-a_0\\ &=-f(3^{k-3}a_k+3^{k-4}a_{k-1}+\ldots+a_3)-a_2+a_1-a_0\\ &=\ldots=(-1)^{k+1}a_k+\ldots+a_3-a_2+a_1-a_0. \end{align*} Aunque está claro el proceso por el que hemos obtenido la fórmula anterior, también se puede formalizar fácilmente por inducción sobre $k$, el número de dígitos. El mínimo $n$ tal que $f(n)=2010$ se obtendrá minimizando los dígitos pares y maximizando los impares, es decir, tomando $a_{2j}=0$ y $a_{2j-1}=2$ de forma que haya $1005$ dígitos iguales a $2$. Esto nos da el número \begin{align*} n=202020\ldots 20_{(3)}&=666\ldots 6_{(9)}=6(1+9+\ldots+9^{1004})\\ &=6\frac{9^{1005}-1}{9-1}=\frac{3}{4}(9^{1005}-1). \end{align*}

Solución. Llamemos $x,y,z$ a los denominadores, de forma que \[\left\{\begin{array}3 a + 3 b + 2 c=x\\3 a + 2 b + 3 c=y\\2 a + 3 b + 3 c=z\end{array}\right.\] Este sistema de ecuaciones lineales es compatible determinado y nos da la solución \[\left\{\begin{array}a=\frac{3x+3y-5z}{8}\\b=\frac{3x-5y+3z}{8}\\c=\frac{-5x+3y+3z}{8}\end{array}\right.\] lo que nos lleva a que los numeradores se transforman en \[a+b+3c=\frac{-9x+7y+7z}{8},\qquad a+3b+c=\frac{7x-9y+7z}{8},\qquad a+b+3c=\frac{7x+7y-9z}{8}.\] Por lo tanto, el miembro de la izquierda de la desigualdad original se reescribe como \begin{align*}\frac{-9x+7y+7z}{8x}&+\frac{7x-9y+7z}{8y}+\frac{7x+7y-9z}{8z} &=\frac{-27}{8}+\frac{7}{8}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)\\ \geq\frac{-27}{8}+\frac{7}{8}(2+2+2)=\frac{15}{8}, \end{align*} donde hemos usado que la suma de un número positivo y su inverso es mayor o igual que $2$. Observamos que $x$, $y$ y $z$ son positivos a partir de su definición ya que $a$, $b$ y $c$ lo son.

Nota. La igualdad se alcanza cuando $x=y=z$, lo que se traduce claramente en que $a=b=c$.