Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Escribamos la progresión aritmética como $a_n=c+(n-1)d$ y la progresión geométrica como $g_n=cr^{n-1}$. Aquí estamos reflejando que ambas sucesiones tienen término inicial común $a_1=g_1=c$ y denotamos por $d$ a la diferencia de la progresión aritmética y por $r$ a la razón de la progresión geométrica. Entonces, podemos escribir las otras dos condiciones que nos dan como \begin{align*} a_2&=g_2&\Leftrightarrow&& c+d&=cr&\Leftrightarrow& &r=1+\frac{d}{c}\\ a_{10}&=g_3&\Leftrightarrow&& c+9d&=cr^2&\Leftrightarrow&& r^2=1+9\frac{d}{c}, \end{align*} donde hemos usado que $c\neq 0$ por hipótesis. Igualando la segunda ecuación con el cuadrado de la primera tenemos que \[1+9\frac{d}{c}=\left(1+\frac{d}{c}\right)^2=1+2\frac{d}{c}+\frac{d^2}{c^2}\ \Leftrightarrow\ \frac{d}{c}=7,\] donde hemos usado que $d\neq 0$ ya que en tal caso la sucesión aritmética sería constante y, por tanto, $g_1=a_1=a_2=g_2$ y la geométrica también lo sería en contra de lo que nos dice el enunciado. Esto nos lleva a que $r=1+\frac{d}{c}=8$.

Por lo tanto, tenemos que responder si, para cada entero positivo $p$, existe un entero positivo $m$ tal que $8^{p-1}=1+7(m-1)$. Esto es verdad ya que $8^{p-1}\equiv 1^{p-1}=1\pmod{7}$ para todo $p\geq 1$. Por lo tanto, la respuesta a la pregunta que nos hacen es afirmativa.