Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2748 problemas y 1042 soluciones.
LV Olimpiada Matemática Española (fase nacional) — 2019
Sesión 1 — 22 de marzo de 2019
Problema 1082
Un conjunto de números enteros $T$ es orensano si existen enteros $a\lt b\lt c$ tales que $a$ y $c$ pertenecen a $T$ y $b$ no pertenece a $T$. Hallar el número de subconjuntos $T$ de $\{1,2,\ldots,2019\}$ que son orensanos.
pistasolución 1info
Pista. Mucho más sencillo es calcular cuántos no son orensanos.
Solución. Un conjunto $T$ no es orensano cuando dados $a,c\in T$ cualesquiera, se cumple que $b\in T$ para todo $b$ entre $a$ y $c$. Entonces, $T$ consistirá exactamente en todos los elementos entre su máximo y su mínimo. Observamos también que si $T$ tiene un único elemento o ninguno, entonces automáticamente no es orensano. Por lo tanto, el número de conjuntos no orensanos es $1+2019+\binom{2019}{2}=2039191$ (hemos sumado $1$ por el conjunto vacío, $2019$ por los subconjuntos de uno solo elemento y $\binom{2019}{2}$ por cada pareja de elementos distintos de $\{1,2,\ldots,2019\}$, que representan el máximo y el mínimo pues estos determinan el conjunto no orensano).
El número total de subconjuntos de $\{1,2,\ldots,2019\}$ es $2^{2019}$, luego el número de subconjuntos orensanos será \[2^{2019}-2039191.\]
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Problema 1083
Determinar si existe un conjunto finito $S$ formado por números primos positivos de manera que para cada entero $n\geq 2$, el número $2^2+3^2+\ldots+n^2$ sea múltiplo de algún elemento de $S$.
Sin pistas
Sin soluciones
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Problema 1084
Los números reales $a,b,c$ verifican que el polinomio
\[p(x)=x^4+ax^3+bx^2+ax+c\]
tiene exactamente tres raíces reales distintas; estas raíces son iguales a $\tan(y)$, $\tan(2y)$ y $\tan(3y)$ para algún número real $y$. Hallar todos los posibles valores de $y$ verificando $0\leq y\lt\pi$.
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Sesión 2 — 23 de marzo de 2019
Problema 1085
Calcular todos los pares de enteros $(x,y)$ tales que
\[3^42^3(x^2+y^2)=x^3y^3.\]
Sin pistas
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Problema 1086
Dado un par de números reales $(x,y)$ tales que $0\leq x\leq y\leq 1$, sea
\[M(x,y)=\max\{xy,1-x-y+xy,x+y-2xy\}.\]
Hallar el mínimo valor que puede tomar $M(x,y)$ para todos estos pares $(x,y)$.
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Problema 1087
En el triángulo escaleno $ABC$, la bisectriz del ángulo $A$ corta al lado $BC$ en el punto $D$. Las rectas que pasan por $D$ y son tangentes a las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABD$ y $ACD$ cortan a las rectas $AC$ y $AB$ en los puntos $E$ y $F$, respectivamente. Si $BE$ y $CF$ se cortan en $G$, demostrar que $\angle EDG=\angle ADF$.
Sin pistas
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