Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

La estrella de seis puntas de la figura es regular: todos los ángulos interiores de los triángulos pequeños son iguales. A cada uno de los trece puntos señalados se le asigna un color: verde o rojo. Demuestra que siempre habrá tres puntos del mismo color que son vértices de un triángulo equilátero.

Sean $a,b,c,d$ cuatro números reales positivos. Si se cumple que \[a+b+\frac{1}{ab}=c+d+\frac{1}{cd}\quad\text{y}\quad \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ab=\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+cd,\] demuestra que al menos dos de los cuatro números son iguales.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB\lt AC$ y sea $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sean $D$, $E$ y $F$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita de $ABC$ con $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. Sea $R$ el punto de $EF$ tal que $DR$ es una altura del triángulo $DEF$ y sea $S$ el punto de corte de la bisectriz exterior del ángulo $BAC$ con $\Gamma$. Probar que $AR$ y $SD$ se cortan sobre $\Gamma$.

Sea $P$ un punto en el plano. Demuestra que es posible trazar tres semirrectas con origen en $P$ con la siguiente propiedad: para toda circunferencia de radio $r$ que contiene a $P$ en su interior, si $P_1$, $P_2$ y $P_3$ son los puntos de corte de las semirrectas con la circunferencia, entonces \[|PP_1|+|PP_2|+|PP_3|\leq 3r.\]

En un grupo de 2022 estudiantes, algunos son amigos entre sí y la amistad es siempre recíproca. Sabemos que cualquier subconjunto de esos estudiantes tiene la siguiente propiedad: siempre existe un estudiante del subconjunto que es amigo de, a lo sumo, $100$ estudiantes del mismo.

1. Determina el menor entero positivo $N$ que nos asegura que se cumple la siguiente propiedad: es posible dividir a los estudiantes en $N$ grupos (no necesariamente del mismo tamaño), de manera que dos estudiantes que están en el mismo grupo nunca son amigos entre sí.
2. Numeramos a los estudiantes del $1$ al $2022$. Sea $c_i$ el número de amigos del estudiante $i$. Determina el máximo valor que puede tomar la suma $c_1+c_2+\ldots+c_{2022}$.

Halla todas las ternas de enteros positivos $(x,y,z)$, con $z\gt 1$, que satisfacen simultáneamente las siguientes tres condiciones: \[x\text{ divide a }y+1,\qquad y\text{ divide a }z−1,\qquad z\text{ divide a }x^2+1.\]