Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
LXI Olimpiada Matemática Española (fase nacional) — 2025
Sesión 1 — 28 de marzo de 2025
Problema 2321
Determinar razonadamente la cantidad de valores distintos que aparecen en la sucesión
\[\left\lfloor\frac{2025}{1}\right\rfloor,\left\lfloor\frac{2025}{2}\right\rfloor, \left\lfloor\frac{2025}{3}\right\rfloor,\ldots, \left\lfloor\frac{2025}{2025}\right\rfloor.\]
pistasolución 1info
Pista. Estudia la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión $a_n=\frac{2025}{n}$.
Solución. Consideremos la sucesión $a_n=\frac{2025}{n}$, que es claramente decreciente. Veamos la diferencia entre dos términos consecutivos:
\begin{align*}
a_n-a_{n+1}=\frac{2025}{n}-\frac{2025}{n+1}=\frac{2025}{n(n+1)}.
\end{align*}
Como $2025=45^2$ y $n(n+1)$ es creciente, se tiene que $n(n+1)\lt 45^2$ para $n\leq 44$ y $n(n+1)\gt 2025$ para $n\geq 45$. Esto nos lleva a que $a_n-a_{n+1}\gt 1$ para $n\leq 44$ y $a_n-a_{n+1}\lt 1$ para $n\geq 45$. Esto nos lleva a las siguientes conclusiones:
- Cualesquiera dos números consecutivos en $a_1,a_2,\ldots,a_{45}$ se diferencian en más de una unidad, luego todos ellos tienen parte entera distinta.
- Cualesquiera dos números consecutivos en $a_{45},a_{46},\ldots,a_{2025}$ se diferencian en menos de una unidad, luego sus partes enteras no pueden saltarse ningún entero entre $a_{45}=45$ y $a_{2025}=1$.
De esta forma, tenemos $45$ partes enteras distintas en $a_1,a_2,\ldots,a_{45}$ y otras $45$ en $a_{45},a_{46},\ldots,a_{2025}$. La única en común es $\lfloor a_{45}\rfloor=45$, luego la respuesta es $89$.
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Problema 2322
El cuadrilátero cíclico $ABCD$ inscrito en la circunferencia $\Gamma$ verifica $AB=BC$ y $CD=DA$. Sea $E$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. La circunferencia de centro $A$ y radio $AE$ corta a $\Gamma$ en dos puntos $F$ y $G$. Demostrar que la recta $FG$ es tangente a las circunferencias de diámetros $BE$ y $DE$.
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Problema 2323
Escribimos las expresiones decimales de los números $\sqrt{2}$ y $\sqrt{3}$ como
\[\sqrt{2}=1,a_1a_2a_3\ldots,\qquad \sqrt{3}=1,b_1b_2b_3\ldots,\]
donde cada $a_i$ o $b_i$ es un dígito entre $0$ y $9$. Demostrar que existen al menos $1000$ valores de $i$ entre $1$ y $10^{1000}$ tales que $a_i\neq b_i$.
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Sesión 2 — 29 de marzo de 2025
Problema 2327
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$ y ortocentro $H$, verificando $AB\lt AC$. La tangente en $A$ a la circunferencia circunscrita de $ABC$ corta a $BC$ en $T$. Sea $X$ el punto medio de $AH$. Demostrar que $\angle ATX = \angle OTB$.
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Problema 2328
Sea $S$ un conjunto finito de casillas de una cuadrícula. En
cada casilla de $S$ colocamos un saltamontes. Cada saltamontes puede mirar
hacia arriba, abajo, izquierda o derecha. Una disposición de saltamontes es
asturiana si, cuando cada saltamontes avanza una casilla en la dirección en la que mira, cada casilla de $S$ sigue conteniendo un saltamontes.
- Demostrar que, para cualquier conjunto $S$, el número de disposiciones asturianas es un cuadrado perfecto.
- Calcular el número de disposiciones asturianas si $S$ es el siguiente conjunto:
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Problema 2329
Sea $\mathbb{R}_{\neq 0}$ el conjunto de todos los números reales distintos de $0$. Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}_{\neq 0}\to \mathbb{R}_{\neq 0}$ tales que, para todo $x,y\in\mathbb{R}_{\neq 0}$,
\[(x-y)f(y^2)+f\left(xy\,f\bigl(\tfrac{x^2}{y}\bigr)\right)=f\bigl(y^2f(y)\bigr).\]
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